Wzór na ciąg geometryczny

Ciąg geometryczny jest ciągiem liczbowym, w którym występuje liczba q sprawiająca, że wszystkie wyrazy ciągu – poza pierwszym -tworzone są poprzez pomnożenie poprzedniego wyrazu przez daną liczbę.

Wzór na ciąg geometryczny
an+1 = an * q, dla n N+

Liczba q nazywana jest ilorazem ciągu an .

Ćwiczenie 1
Podaj iloraz ciągu an i wypisz jego trzy kolejne wyrazy.
a) , , ,…
b) 27, 9, 3,…
c) 1, -5, 25,…

Rozwiązania:
a)
q = 4, bo a2 = a1 * 4, czyli * 4 =
a4 = a3 * q = * 4 =
a5 = a4 * q = * 4 = 1
a6 = a5 * q = 1 * 4 = 4

b)
q = , bo a2 = a1 * (), czyli 27 * = 9
a4 = a3 * q = 3 * = 1
a5 = a4 * q = 1 * =
a6 = a5 * q = * =

c)
q = -5 , bo a2 = a1 * (-5), czyli 1 * (-5) = -5
a4 = a3 * q = 25 * (-5) = -125
a5 = a4 * q = -125 * (-5) = 625
a6 = a5 * q = 625 * (-5) = -3125

Ćwiczenie 2
Oblicz wyrazy a2, a3 i a4 ciągu geometrycznego an.
a) a1 = 4, q =
b) a1 = , q = -2
c) a1 = , q =

Rozwiązania:
a)
a2 = a1 * q = 4 * = =
a3 = a2 * q = * =
a4 = a3 * q = * =

b)
a2 = a1 * q = * (-2) =
a3 = a2* q = * (-2) =
a4 = a3 * q = * (-2) =

c)
a2 = a1 * q = * = = 6
a3 = a2 * q = 6 * =
a4 = a3* q = * = 72

Wzór ogólny ciągu geometrycznego an o pierwszym wyrazie a1 i ilorazie q zapisuje się w postaci:
an = a1 *

Ćwiczenie 3
Oblicz n-ty wyraz ciągu an :
a) a1 = 36, q = , n = 4
b) a1 = -5, q = 2, n = 11
c) a1 = , q = -1, n = 8

an = a1 *

Rozwiązania:
a) n = 4, więc a4 = 36 * = 36 * = 36 * = =
b) n = 11, więc a11 = -5 * = -5 * = -5 * 1024 = -5120
c) n = 8, więc a8 = * = * = * (-1) =

Ćwiczenie 4
Oblicz pierwszy wyraz (a1) ciągu an :
a) a5 = 2, q =
b) a3 = 64, q = 4
c) a6= 27, q = -3

an = a1 *

Rozwiązania:
a)
2 = a1 *
2 = a1 *
2 = a1 *
a1 = = 2 * 2401 = 4802

b)
64 = a1 *
64 = a1 *
64 = a1 * 16
a1 = = 4

c)
27 = a1 *
27 = a1 *
27 = a1 * 243
a1 = =