Wzór na długość okręgu

Okrąg- jest to zbiór punktów odległych od ustalonego punktu- środka okręgu o tą samą wartość- promień.

Średnica (d)- jest to najdłuższa cięciwa (odcinek łączący dwa punkty należące do okręgu) w okręgu, średnica przechodzi przez środek okręgu. Środek okręgu dzieli średnicę na połowy- promienie.

Promień (r)- jest to odcinek łączący środek okręgu z dowolnym punktem należącym do tego okręgu.

Środek okręgu (S)- punkt ten nie należy do okręgu,

Długość okręgu (L) jest to powojony iloczyn liczby π (pi) i długości okręgu:
L= 2πr

Zadanie 1.
Oblicz długość okregu o promieniu długości r= 10 cm.

Rozwiązanie:
Wypisujemy dane:
r= 10 cm
Wypisujemy szukane:
L= ?
Podstawiamy dane pod wzór na długość okręgu:
L= 2πr
L= 2π· 10 cm
L= 20π cm
Możemy zostawić wynik w takiej postaci lub podstawić pod iczbę π jej przybliżoną wartość:
π≈ 3,14
L≈ 20· 3,14 cm= 62,8 cm

Odpowiedź: Długość okręgu o promieniu długości 10 cm jest równa 20π cm.

Zadanie 2.
Oblicz długość okregu o średnicy długości d= 20 cm.

Rozwiązanie:
Wypisujemy dane:
d= 20 cm
Wypisujemy szukane:
L= ?
Aby obliczyć długość okręgu potrzebna jest długość promienia, wiemy że promień jest to połowa średnicy:
d= 2r
20 cm
Podstawiamy długość promienia pod wzór na długość okręgu:
L= 2πr
L= 2π· 10 cm
L= 20π cm
Możemy zostawić wynik w takiej postaci lub podstawić pod iczbę π jej przybliżoną wartość:
π≈ 3,14
L≈ 20· 3,14 cm= 62,8 cm

Odpowiedź: Długość okręgu o promieniu długości 10 cm jest równa 20π cm.

Równanie okręgu:
(x- p)2+ (y- q)2= r2
Z równania okręgu jesteśmy w stanie się dowiedzieć naprawdę dużą ilość informacji:
r2– jest to kwadrat długości promienia, więc pierwiastek z tej liczby jest długością promienia
Środek tego okręgu znajduje się w punkcie S= (p, q)

Zadanie 3.
Oblicz długość okręgu o równaniu (x-2)2+ (y+ 3)2= 25.

Rozwiązanie:
Wypisujemy dane analizując równanie okręgu.
S= (2, -3)
r2= 25
Wypisujemy szukane:
L= ?
Aby obliczyć długość okręgu korzystając z poniższego wzoru, potrzebna jest wartość promienia- r, która otrzymujemy rozwiązując równanie:
L= 2πr
r2= 25
r= 5 lub r= -5
Długość promienia nie może być wartością ujemną, więc:
r= 5
Gdy znana już jest długość promienia należy podstawić tą liczbę pod wzór na długość okręgu:
L= 2πr
L= 2π· 5
L= 10π
Wartość długości okręgu można zostawić w formie z liczbą π lub podstawić pod π jej przybliżoną wartość:
π≈ 3,14
L≈ 10· 3,14 cm= 31,4

Odpowiedź: Długość okręgu o równaniu (x-2)2+ (y+ 3)2= 25 jest równa 31,4.

Nie zawsze chcemy obliczyć długość całego okręgu, tylko długość wycinka okręgu. Długość wycinka okręgu (l) wyznaczonego przez kąt środkowy α liczymy wzorem:
l= α/360°⋅ 2πr

Zadanie 4.
Oblicz długość zaznaczonego na czerwono wycinka okręgu.

Rozwiązanie:
Wypisujemy dane:
r= 5 cm
β= 320∘
Wypisujemy szukane:
l= ?
Aby obliczyć długość wycinka okręgu potrzebujemy znać miarę kąta, który wyznacza ten wycinek- α, wiemy że:
α+ β= 360∘
α= –β+ 360∘
α= –320∘ + 360∘
α= 40∘
Gdy znamy miarę kąta, który wyznacza ten wycinek- α, możemy skorzystać ze wzoru:
l= α/360°⋅ 2πr
l= 40°/360°⋅ 2π⋅ 5 cm
l= 400°/360°⋅ π
l= 10/9⋅π

Odpowiedź: Długość wycinka zaznaczonego wycinka okręgu wynosi 10/9⋅π.