Wzór na objętość ostrosłupa

Zagadnienie związane z ostrosłupem jest elementem geometrii przestrzennej. Przykładami figur przestrzennych są walce, stożki, sześciany, prostopadłościany, ostrosłupy itd. W dzisiejszym wpisie zajmiemy się zagadnieniem związanym z ostrosłupem. Na początku zadajmy sobie pytanie, czym jest ostrosłup. Ostrosłup jest to figura, której podstawa ma przynajmniej trzy boki. Podstawą więc może być trójkąt, kwadrat, prostokąt, pięciobok foremny, sześciobok itd. Cechą charakterystyczną ostrosłupa jest to, że wszystkie krawędzie ścian bocznych łączą się w jednym punkcie. Punkt ten nazywany jest wierzchołkiem ostrosłupa.

Ponadto, możemy mieć do czynienia z ostrosłupem prawidłowym, gdy podstawę tej bryły stanowi figura, której wszystkie boki są tej samej długości. Taką podstawę tworzą wielokąty foremne. Przykładami podstaw ostrosłupów prawidłowych mogą być: trójkąt równoboczny, kwadrat, pięciobok foremny.

Warto wspomnieć, że powierzchnia całkowita ostrosłupa jest równa sumie powierzchni bocznej i powierzchni podstawy. Pc=Pb+Pp (Pole całkowite = pole boczne + pole podstawy).

Siatka ostrosłupa to nic innego, jak „rozłożony” na papierze ostrosłup. Jest to mało fachowa definicja, lecz w zasadzie siatka ostrosłupa jest złożona z podstawy tej bryły (którą stanowi figura płaska) oraz z wszystkich jej ściany. Co ważne, ściany i podstawa są tak połączone krawędziami, że siatka ta jest tak jakby całością (jeden duży element).
Ostrosłup trójkątny. Podstawą takiej bryły jest trójkąt. Ponadto, bryła ta posiada 3 ściany, którymi są trójkąty. Podsumowując, siatka takiego ostrosłupa będzie zbudowana z 4 elementów.
Ostrosłup czworokątny. Podstawą jest tutaj prostokąt. Ściany są zbudowane z łącznie 4 trójkątów. Siatka takiej bryły jest zbudowana z 5 elementów.

Aby obliczyć objętość każdego z ostrosłupa należy posłużyć się poniżej podanym wzorem:

– objętość ostrosłupa wyrażona w , , , ,
– pole podstawy ostrosłupa wyrażone w [], , , , itd.
– wysokość ostrosłupa poprowadzona z wierzchołka do podstawy pod kątem 90°.

Najpierw zajmiemy się polem podstawy ostrosłupów. Ich podstawą mogą być trójkąty rozwartokątne, prostokątne, ostrokątne, kwadraty, prostokąty, równoległoboki, romby, trapezy równoramienne, sześciokąty, sześciokąty foremne, pięciokąty, siedmiokąty, ośmiokąty, siedmiokąty prawidłowe, ośmiokąty prawidłowe itd.

Aby policzyć pole podstawy trójkąta, można skorzystać ze wzoru: , a to długość boku trójkąta oraz h to wysokość tego trójkąta opadająca na podstawę a. Gdy mamy do czynienia z trójkątem, którego długości boków są takie same, nazywamy go trójkątem równobocznym. W związku z tym, że każdy bok jest tej samej długości, możemy zastosować jeszcze jeden wzór, na obliczenie pola trójkąta równobocznego. Ten wzór wygląda następująco: , gdzie a jest długością boku trójkąta. Ponadto, w sytuacji gdy potrzebujemy obliczyć wysokość podstawy, którą stanowi trójkąt równoboczny, możemy skorzystać ze wzoru: .

Gdy podstawą ostrosłupa jest kwadrat, chcąc obliczyć pole podstawy możemy skorzystać ze wzoru: , gdzie a jest długością boku kwadratu.

Gdy podstawą jest prostokąt, wystarczy posłużyć się wzorem: , gdzie a i b to długości boków tej figury, aby obliczyć pole ostrosłupa o takiej podstawie.

Gdy podstawą jest równoległobok, jego pole możemy obliczyć ze wzoru: , a stanowi podstawę równoległoboku. Natomiast h jest wysokością tej figury opadająca na podstawę a.

Gdy podstawą jest romb, to jego pole obliczamy ze wzoru: , e to pierwsza przekątna rombu, a f to druga przekątna rombu. Ponadto należy pamiętać, że romb, to szczególny przypadek równoległoboku. Z tego powodu pole rombu również możemy policzyć ze wzoru na pole równoległoboku.

Gdy naszą podstawą ostrosłupa jest sześciokąt foremny, mamy do wykonania troszkę więcej obliczeń. Przede wszystkim na początku warto zauważyć, że sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu trójkątów równobocznych. Gdy podzielimy ten sześciokąt w taki sposób, że poprowadzilibyśmy ze środka figury do każdego z jej wierzchołków linię, zobaczylibyśmy właśnie wyżej wspomniane trójkąty równoboczne. Długość boku każdego z trójkątów jest tej samej długości, co bok sześciokąta foremnego. Najłatwiejszym sposobem obliczenia pola powierzchni takiego sześciokąta, jest zastosowanie wzoru na pole trójkąta równobocznego. Wzór tej już wyżej opisałam. Dla przypomnienia, napiszę go jeszcze raz: . Następnie otrzymaną wartość mnożymy razy ilość naszych trójkątów. Mamy tych trójkątów sześć, więc mnożymy otrzymane pole jednego trójkąta razy sześć. Otrzymany wynik jest polem powierzchni sześciokąta foremnego.

Skoro wiemy już, jak policzyć pole podstawy większości ostrosłupów, możemy przejść do przeanalizowania kilku zadań.

Zadanie numer 1 Oblicz objętość ostrosłupa, którego podstawą jest kwadrat o boku 6cm. Wysokość poprowadzona z wierzchołka bryły wynosi 150cm.

Dane: H=150cm a=6cm

Szukane: V=?

Odpowiedź: Objętość tego ostrosłupa wynosi 60 .

Zadanie nr 2 Do pewnego wazonu wlano 1 litr wody. Ta ilość wody wystarczyła do całkowitego zapełnienia wazonu. Wazon jest całkowicie pełny. Podstawą tego wazonu jest sześciokąt foremny o boku długości 4cm. Oblicz wysokość tego wazonu w kształcie ostrosłupa.

Dane: 1 litr wody jest równy objętości wynoszącej: 1 a=4cm

Szukane: H=?

W tym miejscu należy przekształcić wzór w taki sposób, aby łatwo było wyliczyć szukaną przez nas wartość

Po uproszczeniu i skróceniu wszystkich możliwych liczb otrzymujemy następujący wynik:

cm

W związku z tym, że mamy niewymierność w mianowniku, nie kończymy obliczeń na tym etapie. Rozszerzamy mianownik i licznik tak, aby pozbyć się niewymierności z mianownika.

Gdy w poleceniu jest polecenie, by zaokrąglić wynik, należy to wykonać najlepiej przy użyciu kalkulatora.
Odpowiedź: Wysokość tego wazonu w kształcie ostrosłupa wynosi centymetrów.

Zadanie numer 3

Pewien ostrosłup o nieznanej nam podstawie posiada 18 wierzchołków. Pytanie brzmi, ile ten ostrosłup ma krawędzi?

Jak wiemy, każdy ostrosłup ma tylko jeden wierzchołek, w którym łączą się wszystkie krawędzie. Po odjęciu tego wierzchołka od sumy wszystkich wierzchołków tej bryły otrzymujemy liczbę wierzchołków podstawy tego ostrosłupa. Wykonujemy następujące obliczenie.

18-1=17

Dzięki tym obliczeniom wiemy, że podstawa tego ostrosłupa posiada 17 wierzchołków. Na podstawie tej informacji możemy stwierdzić, że ta podstawa będzie miała również 17 krawędzi. PODSTAWA MA 17 KRAWĘDZI. To jest nasz pierwszy wniosek.

Jak wiemy, w ostrosłupie z każdego wierzchołka podstawy jest poprowadzona prosta, która kończy się w wierzchołku całej bryły. Każda z tych prostych jest nazywana krawędzią. Skoro mamy 17 wierzchołków w podstawie, to zostanie poprowadzonych 17 prostych – krawędzi z tych wierzchołków do wierzchołka ostrosłupa. Tak więc w tym ostrosłupie mamy 17 krawędzi tworzących ściany boczne tej bryły (nie liczę tutaj podstaw trójkątów tworzących ściany boczne bryły).

Podsumowując, możemy dodać te dwie wartości, otrzymując tym samym liczbę krawędzi w tym ostrosłupie.

Odpowiedź: Ten ostrosłup ma 34 krawędzie.

Podsumowanie
Zagadnienie związane z objętością ostrosłupów jest bardzo obszernym tematem. Podczas wykonywania zadań z tych tematów nie tylko zagłębiamy się w świat geometrii przestrzennej. Poza rysowaniem przestrzennym, ćwiczymy tutaj również umiejętności sprawnego liczenia oraz posługiwania się podstawowymi, jak i tymi bardziej skomplikowanymi wzorami. Poza tym, w zadaniach z ostrosłupami możemy się spodziewać zagadnień związanych z Twierdzeniem Pitagorasa, czy też z trójkątami 90° 60° 30° lub trójkątami 90° 45° 45°. Niewątpliwie znajomość wyżej wspomnianych zależności przyda się nie tylko na egzaminie ósmoklasisty, lecz także na maturze czy studiach.
Mam nadzieję, że długość tego artykułu Ciebie nie przeraziła. Ponadto wierzę, że dzięki analizie powyższych zadań zrozumiałeś zagadnienie związane z objętością ostrosłupa, jak i przypomniałeś/aś sobie wzory przydatne w tym dziale matematyki.