Wzór na objętość walca

Wzór na objętość walca
Walec jest bryłą, która powstaje przez obrót dowolnego prostokąta wokół jednego z jego boków. Prostokąt to czworokąt o dwóch parach równych boków równoległych i wszystkich czterech kątach prostych, czyli mierzących 90°. Podstawą walca i górną identyczną częścią jest koło, czyli powierzchnia ograniczona przez okrąg, który jest jej brzegiem. Prostokąt dwa razy większy od obróconego prostokąta jest przekrojem osiowym tego walca, czyli prostokątem powstałym przez przecięcie walca wzdłuż średnicy podstawy, czyli podwojonego promienia, przez całą jego wysokość.
Pole powierzchni przekroju osiowegoto:
P = 2r*h, gdzie h to wysokość tego walca, czyli odległość między jego podstawą, a górną częścią tego walca, natomiast r jest promieniem jego podstawy;
Objętość walca oblicza się mnożąc jego pole podstawy z wysokością tego walca:
V = Pp*h, gdzie Pp to pole podstawy tego walca, a h jest jego wysokością.
Jak wiemy podstawą walca jest koło. Najczęściej pole koła oblicza się ze wzoru:
Pp = πr2, gdzie r jest jego promieniem, π to liczba pi, czyli stosunek obwodu koła do jego średnicy. Jest też nazywana stałą Archimedesa, ponieważ jest taka sama niezależnie od wyboru koła. Dzieje się tak dlatego, że każde dwa koła są podobne, czyli wzajemnie są swoim powiększeniem lub pomniejszeniem.
Wtedy objętość walca będzie się liczyło ze wzoru:
V = Pp*h, podstawiamy wzór na pole koła;
V = πr2*h
Jednak pole koła można obliczyć również z wykorzystaniem jego średnicy, która jest dwa razy dłuższa niż jego promień:
Pp = πr2, podstawiamy zamiast r długość średnicy;
Pp = π(R : 2)2, gdzie R jest długością średnicy tego koła;
W takim wypadku wzór na objętość będzie taki:
V = Pp*h, podstawiamy wzór na pole koła;
V = π(R : 2)2*h
Pole koła można obliczyć również znając jego obwód, który oblicza się ze wzoru:
L = 2πr, dzielimy przez 2π;
r = L : 2π
L = 2πr, mnożymy razy r;
L*r = 2πr2, dzielimy przez 2;
πr2 = L*r : 2
Pp = L*r : 2, podstawiamy r;
Pp = L*(L : 2π) : 2
Wzór na objętość walca będzie więc taki:
V = Pp*h, podstawiamy wzór na pole koła;
V = L*(L : 2π)*h : 2

przykład 1
Oblicz objętość walca o wysokości długości 2 i promieniu podstawy równym 8.
Rozwiązanie:
V = πr2*h, podstawiamy dane;
V = π82*2
V = 64π*2
V = 128π
odp. Objętość tego walca wynosi 128π.

przykład 2
Oblicz objętość walca, wiedząc że średnica jego podstawy wynosi 3, a jego wysokość jest dwa razy dłuższa.
Rozwiązanie:
2*3 = 6
V = π(R : 2)2*h, podstawiamy dane;
V = π(3 : 2)2*6
V = π1,52*6
V = 6π*2,25
V = 13,5π
odp. Objętość tego wielościanu wynosi 13,5π.

przykład 3
Ile wynosi objętość walca, którego wysokość wynosi π, a obwód jego podstawy wynosi 4π?
Rozwiązanie:
V = L*(L : 2π)*h : 2, podstawiamy dane;
V = 4π*(4π : 2π)*π : 2
V = 4π*2*π : 2
V = 4π*π
V = 4π2
odp. Objętość tej figury wynosi 4π2.

przykład 4
Oblicz objętość walca którego przekątna wynosi 5, wiedząc że jego wysokość jest o krótsza od promienia podstawy.
Rozwiązanie:
UWAGA: Twierdzenie Pitagorasa to twierdzenie przypisywane Pitagorasowi dotyczące trójkątów prostokątnych.
Trójkąt prostokątny jest wielokątem o trzech bokach i trzech kątach z których jeden jest prosty, ma miarę 90°. Suma miar jego trzech kątów wewnętrznych wynosi 180°.
Jego treść to:
W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta.
Przyprostokątna trójkąta jest jego bokiem wychodzącym z kąta prostego, a przeciwprostokątna to bok leżący naprzeciw tego kąta o mierze 90°. Trójkąt prostokątny ma dwie przyprostokątne i jedną przeciwprostokątną.
Wzór na twierdzenie Pitagorasa wygląda następująco:
a2 + b2 = c2, gdzie a i b są przyprostokątnymi tego trójkąta, a c to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego;
Obliczymy to wykorzystując twierdzenie Pitagorasa:
a2 + b2 = c2, podstawiamy dane;
x2 + (x)2 = 52, gdzie x jest promieniem podstawy;
x2 + x2 = 25
x2 = 25, dzielimy przez 25;
x2 = 1, mnożymy razy 16;
x2 = 16, wyciągamy pierwiastek;
x = √16
x = 4
x = 3
V = πr2*h, podstawiamy dane;
V = π42*3
V = 16π*3
V = 48π
odp. Objętość tego walca wynosi 48π.

przykład 4
Oblicz promień podstawy walca o objętości 16π, wiedząc że długość jego wysokości jest równa 4.
Rozwiązanie:
V = πr2*h, podstawiamy dane;
16π = πr2*4, dzielimy przez π;
16 = r2*4, dzielimy przez 4;
4 = r2, wyciągamy pierwiastek;
r = √4
r = 2
odp. Promień podstawy tego wielościanu wynosi 2.

przykład 5
Oblicz wysokość walca o objętości 2π, wiedząc że średnica jego podstawy jest równa 8.
V = π(R : 2)2*h, podstawiamy dane;
2π = π(8 : 2)2*h
2π = π(4)2*h
2π = 16π*h, dzielimy przez π;
2 = 16*h, dzielimy przez 16;
h =
odp. Wysokość tego walca jest równa .

przykład 6
Oblicz objętość pewnego walca, wiedząc że obwód jego podstawy jest równy 10π, a wysokość tego walca jest 5 razy mniejsza od promienia jego podstawy.
Rozwiązanie:
Najpierw obliczamy promień podstawy tego walca:
L = 10π
L = 2πr
2πr = 10π, dzielimy przez 2π;
r = 5
r = 5h
5h = 5, dzielimy przez 5;
h = 1
V = πr2*h, podstawiamy dane;
V = π52*1
V = 25π
odp. Objętość tego walca wynosi 25π.