Wzór na obwód koła

Zacznijmy od tego, że obwód kola jest zwany inaczej długością okręgu, ze względu na to, że okrąg jest to zewnętrzna ,,powłoka” koła, czyli oba te wzory są takie same. Kiedyś wspominałem o długości okręgu, ale teraz bardziej rozwinę ten temat oraz dodam więcej ćwiczeń.

Wzór na obwód koła, wyrażamy wzorem:

– wykorzystujemy, gdy dany jest tylko promień (choć i tak po obliczeniu i zostawieniu w formie równania z π, powstanie wzór drugi)
lub
– wykorzystujemy, gdy dana jest średnica (nie warto przeliczać średnicy na promień, bo to strata czasu)

gdzie:
O- obwód koła (przypominam!!- zwany długością okręgu)
r- długość promień koła
d- długość średnicy koła (2r=d)
π- liczba ,pi’, mająca w przybliżeniu wartość: 3,141592…

Teraz trochę o liczbie ,pi’ oraz o niej w zadaniach.
Liczba ,pi’ (zwana również czasami ludolfiną) jest liczbą stałą matematycznie. Liczba ,pi’ (π) jest to stosunek obwodu koła do jego średnicy. Uważa się, że jako pierwszy, który podał liczbę π (do dwóch liczb po przecinku) był Archimedes (choć wielu myśli, że byli to Sumerowie, którzy wymyślili koło). Liczba ,pi’ jest liczbą niewymierną, więc ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone, dlatego trudne byłoby obliczanie wyników z jej udziałem, dlatego korzysta się z przybliżenia (o ile w zadaniu chcą byśmy podali wynik przybliżony, a nie ma informacji jakiego użyć przybliżenia):

Wartość liczby π zależy od treści zadania, co oznacza, że jeśli w zadaniu chcą tylko byśmy obliczyli wynik (w tym przypadku obwód koła) to zostawiamy wynik w postaci równania (czyli liczba ,pi’ razy długość średnicy), lecz kiedy proszą nas o podanie przybliżonej wartości, obliczamy wynik dla π= przybliżenie podane w zadaniu lub gdy proszą nas o przybliżoną wartość, lecz nie podają przybliżenia korzystamy z przybliżenia podanego wyżej.

Jeśli jakoś zapomnisz wzoru przy robieniu testu (lub zadania), nie wymyślaj innych sposobów na obliczenie obwodu koła jak pokazuje mem poniżej (bardziej na lewo):

To nici z zadania.

Czas na zadania:

Zad. 1
Jasio chce przygotować dwa koła z liny. Oblicz, ile potrzebuje dm liny, jeśli chce, by ich promień miał długość 5cm ?

Rozwiązanie:
Na początku wypisujemy dane i szukane:
Dane:
r= 5cm

Szukane:
O1-?
O2-?
O1+2-?

Pamiętaj, że w zadaniu jest napisane, że oba kola mają ten sam promień, dlatego zamiast, napisać, że:
O1+2= O1+O2

Możemy napisać, tak:
O1+2= 2O1 lub O1+2= 2O2

Ja skorzystam z zapisu pierwszego, a jedynie podstawie nasz wzór do pierwszego zapisu, a później oblicze da danych.

[cm] = [dm]

Wynik zostawiamy w takiej formie, gdyż w zadaniu nie podanego, ile Jasio potrzebuje dm sznurka w przybliżeniu, dlatego wynik zostawiamy w takiej formie.
Musimy dać jeszcze odpowiedź , bo zadanie jest z treścią:
Odp.: Jasio potrzebuje 2π dm sznurka, by przygotować dwa koła o promieniu 5cm.

Zad. 2
Jaka jest długość promienia, koła jeśli jego obwód jest równy 76π cm?

Żeby obliczyć długość promienia musimy wpierw przekształcić wzór na Obwód koła:

O= 2rπ /: 2π

teraz podstawiamy dane do wzoru i obliczamy:

Teraz odpowiedź:
Odp.: promień tego kola ma długość 38cm

Zad. 3
W kwadracie o boku 5cm, umieszczono koło o największej możliwej średnicy. Oblicz, ile razy obwód koła wpisanego w ten kwadrat jest większy od obwodu kwadratu? Przyjmij, że π 3,1 .

Rozwiązanie:

Wypiszmy dane i szukane:
Dane:
d= 5cm (mowa o największej możliwej średnicy koła wpisanego w kwadrat, więc średnica ma taką samą długość co bok kwadratu
π= 3,1 (jeśli w zadaniu jest podana przybliżona wartość liczby π to jest to również dana)

Szukane:
Obw.-?
O- ?
Pamiętaj, że obwód koła i obwód kwadratu mają inne oznaczenia.

żeby obliczyć ile razy obwód kola jest większy od obwodu kwadratu musimy obliczyć ich obwody, a później podstawić do wzoru:

Obliczamy obwód:
-kwadratu:

-koła:

Teraz obliczamy ile razy obwód kwadratu jest większy od obwodu koła:

Czyli obwód koła wpisanego w ten kwadrat jest 1,55 razy większy od obwodu kwadratu i taką dajemy odpowiedź:
Odp.: obwód koła wpisanego w ten kwadrat jest 1,55 razy większy od obwodu kwadratu

Zad. 5
Oblicz obwód koła, gdy:
a) r= 25 cm
b) d= 32 dm π 3,14
c) d= 1 m π 3,1
d) r= 39 cm

Rozwiązania:
a) [cm]
b)
c) (jednostka nie jest w nawiasie kwadratowym, gdyż wykorzystaliśmy jednostkę w obliczeniach)
d) [cm]

Za pomocą obwodu koła, nie tylko możemy obliczyć ile potrzebujemy materiału na zrobienie obwodu koła. Za pomocą obwodu koła możemy również obliczyć ile razy koło obróci się na trasie pomiędzy punktem A, a B. Ilość ile razy koło obróci się na danej trasie możemy obliczyć ze wzoru:

gdzie:
lobr– ilość obrotu [wzór ten nie istnieje naprawdę (nie udało mi się w ogóle znaleźć żadnego podobnego wzoru w intrenecie), przedstawia on moje obserwacje na temat liczby obrotów koła (o pewnym obwodzie) na pewnej trasie oraz przykładowy symbol, wzór nie jest ten oficjalnie używany i wymyślony jedynie na potrzeby tego opracowania]
s- przebyta droga (cała)
O- obwód koła

Czas na kolejne zadania:
Zad. 6
Marcin jedzie rowerem do szkoły, a po szkole wraca do domu. Jego koło w rowerze ma średnicę 65 cm. Oblicz ile razy koło w rowerze obróci się w drodze tam i z powrotem (czyli w drodze z domu do szkoły i z powrotem), jeśli odległość między jego domem, a szkołą do, której uczęszcza wynosi 5km? Przyjmij, że π 3,14

Wypisujemy dane i szukane:
Dane:
d= 65 cm
π 3,14
s= 5km= 5000m= 500 000cm (wartości muszą być wyrażone w tej samej jednostce)

Szukane:
lobr.– ?

Rozwiązanie:
Wypiszmy sobie wzór (tzw. fanowski) na liczbę obrotów:

lobr.=

ze względu, że obwód koła jest nam nieznany- musimy go obliczyć ze wzoru(mam nadzieję, że pamiętacie, a jak nie to przewińcie wyżej i sobie przypomnijcie):

Teraz wystarczy tylko podstawić dane do wzoru oraz obliczyć, lecz jak pamiętacie, w tekście pytali nas ile razy koło wykona obrót podczas jazdy do szkoły i z powrotem, więc całą drogę do szkoły musimy policzyć dwukrotnie, a więc otrzymujemy:

cm (jednostki muszą się zgadzać!!!!)

Dopiero teraz możemy podłożyć dane do wzoru:

I mamy wynik, teraz tylko odpowiedź:
Odp.: Koło w rowerze Marcina obróci się ok. 4899,6 razy w drodze z domu do szkoły i z powrotem

Zad. 7
Oblicz trasę jaką pokonała Pani Ela, jadąc z domu do fryzjera, jeśli jej koło w rowerze o promieniu 30cm, obróciło się aż 1702 razy. W swoich obliczeniach przyjmij, że π 3,1, a wynik podaj w ,km’ do jednego miejsca po przecinku.

Rozwiązanie:
Wypisujemy dane i szukane:
Dane:
r= 30cm
π 3,1
lobr.= 1702

Szukane:
s= ?

Ażeby obliczyć drogę jaką Pani Ela pokonała jadąc rowerem do fryzjera, musimy przekształcić wzór:

/

Teraz wystarcz obliczyć tylko obwód koła w rowerze:

Teraz możemy obliczać drogę:

=3,16572km

Teraz musimy wynik podać do jednego miejsca po przecinku, czyli do liczby podkreślonej (patrz wyżej), czyli otrzymujemy:

3,16572 3,2

Czyli Pani Ela pokonała, jadąc do Fryzjera, trasę o długości ok.: 3,2km

Koniec