Wzór na odchylenie standardowe

Wzór na odchylenie standardowe
Zacznę od powiedzenia czym jest odchylenie. Odchylenie w matematyce to miara różnicy między obserwowaną wartością zmiennej a jakąś inną wartością. Znak odchylenia informuje o kierunku tej różnicy, który może być dodatni lub ujemny. Wielkość wartości odchylenia informuje o wielkości tej różnicy.
Natomiast odchylenie standardowe jest jednym z rodzajów odchylenia. Odchylenie standardowe mówi nam jak duże są różnice wartości danej wielkości względem jej średniej. Im mniejsza jest jego wartość, tym są one bardziej skupione wokół średniej. Odchylenie standardowe jest pierwiastkiem drugiego stopnia z wariancji. Wariancja to średnia arytmetyczna kwadratów odchyleń poszczególnych wartości badanej wielkości od wartości oczekiwanej, lub od jej średniej.
Wzór na wariancję to:
σ2 = , gdzie x1, x2, x3…xn to podane wartości danej wielkości, n to ich liczba, a X jest średnią wszystkich tych wartości;
Odchylenie standardowe jest wyrażone w tych samych jednostkach co badana wielkość, np. jeśli mierzymy wzrost w centymetrach, to odchylenie standardowe również będzie wyrażone w centymetrach.
Odchylenie standardowe zawsze jest nieujemne, natomiast wartość zero ma wtedy, gdy wszystkie obserwacje mają dokładnie taką samą wartość.
Wzór na odchylenie standardowe to:
σ = gdzie x1, x2, x3…xn to obserwowana wartość danej wielkości, n to liczba tych obserwacji, a X jest średnią wszystkich tych obserwacji;

przykład 1
Oblicz odchylenie standardowe liczb 12, 4 i 8.
Rozwiązanie:
Najpierw obliczmy średnią arytmetyczną tych trzech liczb:
X = (12 + 4 + 8) : 3
X = 24 : 3
X = 8
σ = podstawiamy dane;
σ = √{[(12 – 8)2 + (4 – 8)2 + (8 – 8)2] : 3}
σ = √{[42 + (-4)2 + (0)2] : 3}
σ = √[(16 + 16 + 0) : 3]
σ = √(32 : 3)
σ = √
odp. Odchylenie standardowe tych liczb wynosi √

przykład 2
Oblicz odchylenie standardowe liczb (-5), 9 i 12.
Rozwiązanie:
Najpierw obliczamy ich średnią arytmetyczną:
X = [(-8) + 10 + 4] : 3
X = 6 : 3
X = 2
σ = √{[(x1 – X)2 + (x2 – X)2 + (x3 – X)2 +…+ (xn – X)2] : n}, podstawiamy dane;
σ = √{[(-8 – 2)2 + (10 – 2)2 + (4 – 2)2] : 3}
σ = √{[(-12)2 + 82 + 22] : 3}
σ = √{[144 + 64 + 4] : 3}
σ = √(212 : 3)
σ = √
odp. Ich odchylenie standardowe wynosi √