Wzór na pole powierzchni prostopadłościanu

Aby obliczyć pole powierzchni prostopadłościanu należy zsumować pola każdej ściany tej figury. Innymi słowami obliczyć pole siatki prostopadłościanu liczymy pole siatki tego prostopadłościanu:

P= Pole niebieskich ścian+ pole czerwonych ścian+ pole żółtych ścian
P= 2* b* h+ 2* a* h+ 2* a* b
a, b- długości krawędzi prostopadłościanu przy podstawie;
h- wysokość prostopadłościanu.

Dla przykładu:
Prostopadłościan o długościach krawędzi przy podstawie równych a= 5 cm, b= 10 cm, zaś jego wysokość wynosi h= 12 cm ma pole równe:
P= 2* 10 cm* 5 cm+ 2* 12 cm* 4 cm+ 2* 4 cm * 5 cm
P= 100 cm2+ 96 cm2+ 40 cm2
P= 236 cm2
Pole prostopadłościanu o długości krawędzi równych a= 5 cm, b= 10 cm, h= 12 cm wynosi 236 cm2.

Szczególnym prostopadłościanem jest prostopadłościan o podstawie w kształcie kwadratu i sześcian:
1) Pole powierzchni prostopadłościanu o podstawie w kształcie kwadratu- jest równe:

P= 4*a*h+ 2*a2

2) Pole powierzchni sześcianu- sześcian jest to prostopadłościan o wszystkich krawędziach równej długości- a, więc ma on każdą z sześciu ścian o takim samym polu:

P= 6* a2
a- długość krawędzi sześcianu;
P- pole powierzchni sześcianu.

Ćwiczenie 1.
Oblicz pole powierzchni sześcianu o:
a) długości boku- a= 6 cm;
b) długości przekątnej jednej ze ścian d= cm.

a) Rozwiązanie:
Wypisujemy dane:
a= 6 cm
Wypisujemy szukane:
P= ?
Podstawiamy dane pod wzór na pole powierzchni sześcianu:
P= 6* a2
P= 6* 6 cm* 6 cm
P= 216 cm2

Odpowiedź: Pole powierzchni sześcianu o boku długości a= 6 cm wynosi 216 cm2.

b) Rozwiązanie:
Wypisujemy dane:
d= cm
Wypisujemy szukane:
Pp= ?
Ten przykład możemy rozwiązać na dwa sposoby:
1/ znając właściwość przekątnej kwadratu i długości boku, taka że:

gdy podstawimy pod długość przekątnej wzór wychodzi że:

a= 7 (cm)
A następnie licząc pole jednej ściany ze wzoru:
P= a2
P= 49 cm2
2/ Podstawiając długość przekątnej pod wzór na pole kwadratu z długości przekątnej kwadratu:



P= 49 cm2
Gdy już obliczymy pole jednej ściany sześcianu możemy obliczyć pole powierzchni całego sześcianu:
Pp= 6* P
Pp= 6* 49 cm2
Pp= 294 cm2

Odpowiedź: Pole powierzchni sześcianu o przekątnej boku długości d= cm wynosi 294 cm2.

Każdy prostopadłościan ma także przekątną:
O długości określonej wzorem , gdzie:
a, b, c- długości krawędzi;
d- długość przekątnej prostopadłościanu

Wzór ten jest wyprowadzony z Twierdzenia Pitagorasa:
d2= e2+ c2
Za e2 podstawić możemy:
e2= a2+ b2
Więc:
d2= a2+ b2+ c2 /√

Ćwiczenie 2.
Oblicz pole powierzchni prostopadłościanu o długościach krawędzi przy podstawie- a= 3 cm, b= 4 cm oraz o przekątnej tego prostopadłościanu długości d= 7cm.

Rozwiązanie:
Wypisujemy dane:
a= 3 cm
b= 4 cm
d= 7cm
Wypisujemy szukane:
P= ?
Aby obliczyć pole powierzchni prostopadłościanu musimy znać długości każdej krawędzi, więc liczymy krawędź c ze wzoru na przekątna prostopadłościanu:
/2

c= = (cm)
c= – = – (cm) Ale długość krawędzi nie może być wartością ujemną
Gdy już znamy długości wszystkich krawędzi liczymy pole powierzchni korzystając ze wzoru:
P= 2* b* c+ 2* a* c+ 2* a* b
P= 2* 4 cm* 2√6 cm + 2* 3 cm* 2√6 cm+ 2* 3 cm* 4 cm
P= 16√6 cm2+ 12√6 cm2+ 24 cm2
P= 28√6 + 24 cm2

Odpowiedź: Pole powierzchni prostopadłościanu o długości krawędzi przy podstawie a= 3 cm, b= 4 cm oraz o przekątnej tego prostopadłościanu długości d= 7cm wynosi P= 28√6 + 24 cm2.