Wzór na pole rombu

WZÓR NA POLE ROMBU
Wstęp:
W tym wypracowaniu dowiesz się czym jest wielokąt, czworokąt i romb. Dowiesz się jak obliczyć pole i obwód czworokąta oraz rombu i poznasz zagadnienia związane z tematem tego wypracowania. Na końcu rozwiążesz zadania podsumowujące twoją wiedzę zdobytą po przeczytaniu tej pracy.
Wielokąt:
Wielokąt, który nazywamy też wielobokiem jest figurą płaską, czyli dwuwymiarową. Figurę tą ogranicza linia łamana, czyli ciąg odcinków następujących po sobie. Obwód tej łamanej jest równy obwodowi danego wielokąta, a jej boki są również jego bokami. Wierzchołki danej łamanej nazywa się wierzchołkami wielokąta. Warto zauważyć, że każdy wielokąt posiada taką samą liczbę boków, wierzchołków i kątów wewnętrznych. Wzór na sumę miar kątów wewnętrznych danego wielokąta to:
(n – 2)*180°, gdzie n jest liczbą boków tego wielokąta.
Przekątną wielokąta nazywamy odcinek, który łączy dwa kąty tego wielokąta nienależące do jego boku.
Podział wielokątów:
Wielokąty dzielimy ze względu na miarę kątów na dwa rodzaje:
wielokąty wypukłe, to takie, których wszystkie kąty mają miary mniejsze niż 180°
wielokąty wklęsłe, to takie, w których co najmniej jeden kąt ma miarę większą niż 180°
Wielokąty ze względu na ilość boków i kątów dzielimy na nieskończoną liczbę rodzajów. Taki wielokąt nazywamy
n-kątem, jeśli n jest liczbą boków tego wielokąta. Najczęstszymi wielokątami są trójkąty i czworokąty, czyli wielokąty które mają trzy lub cztery boki.

Wielokąt foremny:
Wielokąt foremny jest takim wielokątem, którego wszystkie boki są równej długości, a wszystkie kąty wewnętrzne mają równe miary. Wszystkie wielokąty foremne są wypukłe. Wielokąty foremne dzielimy ze względu na ilość boków. Wielokąt foremny posiadający n boków nazywamy n-kątem foremnym. Trójkąt foremny często nazywamy trójkątem równobocznym, a czworokąt foremny można nazwać kwadratem. Dowolne dwa wielokąty foremne o takiej samej liczbie boków nazywamy wielokątami podobnymi, czyli jeden z nich jest powiększeniem lub pomniejszeniem drugiego.
Miarę kąta wewnętrznego dowolnego n-kąta foremnego obliczamy ze wzoru:
(n – 2)*180° : n, czyli dzielimy sumę miar kątów wewnętrznych danego wielokąta przez ilość jego boków.
Obwód wielokąta foremnego obliczamy ze wzoru:
L = n*a, gdzie n jest ilością boków, natomiast a jest długością jednego boku danego wielokąta foremnego.
Ilość przekątnych n-kąta foremnego oblicza się ze wzoru:
n(n – 3) : 2
Okrąg można wpisać i opisać na każdym wielokącie foremnym.
Każdy n-kąt foremny można podzielić na n przystających trójkątów równoramiennych, których podstawą jest bok tego wielokąta, a wysokością opadającą na tą podstawę jest promień okręgu opisanego na tym wielokącie. Wynika z tego, że jeśli pole trójkąta obliczamy ze wzoru:
P = a*h : 2, gdzie a to podstawa trójkąta, a h jest wysokością opadającą na ta podstawę.
Wtedy pole n-kąta możemy obliczyć ze wzoru:
P = n*(a*h : 2), gdzie a jest bokiem danego wielokąta.
Czworokąt:
Czworokąt jest jednym z wielokątów. Jest on wielokątem posiadającym cztery boki, cztery wierzchołki i cztery kąty. Posiada on również dwie przekątne, a suma miar jego kątów wewnętrznych wynosi 360°. Czworokąt można wpisać w okrąg, gdy sumy długości dwóch przeciwległych boków są sobie równe. Czworokąt można opisać na okręgu, kiedy sumy miar przeciwległych kątów wynoszą 180°. Czworokątem foremnym jest kwadrat.
Podział czworokątów:
Czworokąty można podzielić na trapezoidy, czyli czworokąty nieposiadające boków równoległych i trapezy, czyli czworokąty, które posiadają co najmniej jedną parę boków równoległych.
Szczególnym przypadkiem trapezoidów są deltoidy, czyli takie trapezoidy, które posiadają dwie pary boków sąsiednich równych.
Natomiast szczególnym przypadkiem trapezów są równoległoboki, czyli trapezy mające dwie pary boków równoległych. Do równoległoboków wrócimy jeszcze w późniejszej części tej pracy.
Jednym z równoległoboków jest romb, czyli taki równoległobok, którego wszystkie boki są równej długości. Drugim rodzajem równoległoboków są prostokąty, czyli równoległoboki, których wszystkie kąty są równej miary.
Z połączenia prostokąta i rombu powstaje nam kwadrat, który ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty posiadające równą miarę.
Deltoid:
Deltoid to figura, która ma dwie pary równych boków sąsiednich. Dłuższa przekątna dzieli dany deltoid na dwa trójkąty przystające, a krótsza dzieli deltoid wypukły na dwa trójkąty równoramienne. Dwa kąty, których ramiona są różnej długości mają równą miarę.
Pole deltoidu liczymy ze wzoru:
P = d1*d2 : 2

d1 i d2 to długości przekątnych deltoidu

Okrąg można wpisać w każdy deltoid wypukły.

Trapez:
Trapez jest czworokątem posiadającym jedną lub dwie pary boków równoległych. Każdy trapez można podzielić przekątną na dwa trójkąty, lub wysokościami na prostokąt i od 0 do 2 trójkątów prostokątnych. Wybraną parę boków równoległych nazywamy podstawami, a pozostałe dwa boki wtedy są ramionami. Wysokość trapezu jest odcinkiem łączącym obie podstawy. Suma miar kątów wewnętrznych trapezu leżących przy jednym ramieniu jest równa 180°.
Linią środkową trapezu nazywamy odcinek łączący środki jego ramion, który jest równoległy do podstaw tego trapezu. Dodatkowo linia środkowa trapezu jest równa średniej arytmetycznej jego długości, czyli:
m = (a + b) : 2, gdzie a i b to długości podstaw tego trapezu.
Wzór na pole trapezu liczymy ze wzoru:
P = (a + b)*h : 2, gdzie h jest wysokością, a i b to podstawy danego trapezu.
Możemy do tego wzoru podstawić linię środkową danego trapezu i wtedy ten wzór będzie miał postać:
P = h*m

Prostokąt:
Prostokąt jak sama nazwa wskazuje jest czworokątem posiadającym cztery katy proste. Każdy prostokąt ma co najmniej dwie osie symetrii i środek symetrii. Przekątne w prostokącie są sobie równe i przecinają się w połowie. Równoległe boki prostokąta są równe. Przekątna dzieli prostokąt na dwa przystające trójkąty prostokątne. Wiedząc, że wzór na pole trójkąta prostokątnego wygląda następująco:
P = a*b : 2, gdzie a i b są przyprostokątnymi danego trójkąta, czyli bokami wychodzącymi z kąta prostego;
Możemy obliczyć pole prostokąta dodając pola tych dwóch trójkątów prostokątnych:
P = 2*Pt, podstawiamy wzór na pole trójkąta prostokątnego:
P = 2(ab : 2), skracamy wyrazy podobne;
P = a*b, gdzie a i b są bokami danego prostokąta.
Obwód prostokąta liczymy ze wzoru:
P = 2(a + b) = 2a + 2b, gdzie a i b są długościami jego boków.
Z twierdzenia Pitagorasa można obliczyć długość przekątnej trapezu:
d = √(a2 + b2)
Kwadrat:
Kwadrat jest czworokątem o czterech bokach równych i czterech kątach prostych. Jest on jedynym czworokątem foremnym. Przekątne kwadratu przecinają się w połowie pod kątem prostym, są równej długości, a punkt ich przecięcia jest środkiem symetrii kwadratu. Każda przekątna kwadratu jest również dwusieczną dwóch kątów tego kwadratu z których wychodzi. Każde dwa kwadraty są przystające. Dowolny kwadrat posiada cztery osie symetrii, dwie przekątne i dwie symetralne boków. Te osie symetrii dzielą dany kwadrat na osiem przystających trójkątów prostokątnych równoramiennych.
Obwód kwadratu obliczamy dodając długości wszystkich jego boków:
L = a + a + a + a = 4a, gdzie a jest długością boku tego kwadratu;
Pole tej figury natomiast obliczamy mnożąc długości dwóch jego prostopadłych boków, czyli:
P = a*a = a2, gdzie a jest długością boku.
Długość przekątnej możemy obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
d = a√2
Równoległobok:
Natomiast równoległobok jest takim czworokątem, który posiada dwie pary boków równoległych. Każde dwa przeciwległe boki są równej długości. Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie. Przeciwległe kąty równoległoboku są równej długości, a suma kątów sąsiednich jest równa 180°.
Obwód równoległoboku obliczamy ze wzoru:
L = 2(a + b) = 2a + 2b, gdzie a i b to długości sąsiednich boków równoległoboku.
Wiemy, że przekątna równoległoboku dzieli go na dwa przystające trójkąty. Trójkąty te mają podstawę, która jest jednocześnie podstawą równoległoboku, a wysokość tych trójkątów jest jednocześnie wysokością danego równoległoboku. Pole trójkąta obliczamy ze wzoru:
P = a*h : 2, gdzie a jest podstawą, a h jest wysokością opadającą na tą podstawę.
Wynika z tego, że pole równoległoboku obliczymy dodając pola tych dwóch trójkątów:
P = 2*Pt, podstawiamy wzór na pole trójkąta;
P = 2(a*h : 2), skracamy wyrazy podobne;
P = a*h, gdzie a jest podstawą, a h to wysokość danego równoległoboku.
Romb:
Romb jest czworokątem posiadającym wszystkie boki równej długości. Każdy romb jest równoległobokiem, a szczególnym przypadkiem rombu jest kwadrat – jest to romb, którego wszystkie kąty są proste. Przekątne rombu przecinają się w połowie pod kątem prostym i dzielą dany romb na cztery przystające trójkąty prostokątne. Każdy romb jest wypukły i posiada dwie pary kątów o łącznej mierze 180°. Każda przekątna rombu jest równocześnie dwusieczną kątów z których wychodzi oraz osią symetrii tego rombu. Każdy romb ma środek symetrii leżący w punkcie przecięcia przekątnych.
Pole powierzchni rombu liczymy ze wzoru:
P = a*h, gdzie a jest bokiem rombu, a h jest długością jego wysokości.
P = d1*d2 : 2, gdzie d1 i d2 są przekątnymi danego rombu.
Obwód rombu liczymy ze wzoru:
O = 4a, gdzie a jest bokiem rombu.

W romb można wpisać w okrąg, ponieważ symetralne boków rombu przecinają się w jednym punkcie.
Punkt ten jest jednocześnie środkiem danego okręgu wpisanego. Średnica okręgu wpisanego w romb jest równa długości wysokości danego rombu. Wynika z tego, że promień tego okręgu jest równy połowie wysokości rombu.

Warto zauważyć, że w rombie, którego kąt ostry jest równy 60°, a sąsiedni kąt wynosi 120° wiemy, że przekątna wychodząca z kąta rozwartego jest jego dwusieczną, czyli dzieli go na pół. Wynika z tego, że jeśli w takim rombie poprowadzimy przekątną wychodzącą z kątów rozwartych to podzieli ona ten romb na dwa przystające trójkąty równoboczne. Wtedy bok rombu i ta przekątna mają równe długości, a długość wysokości tego rombu możemy obliczyć z twierdzenia Pitagorasa:
a2 + b2 = c2, podstawiamy dane’
h2 + (a : 2)2 = a2
h2 = a2 – (a : 2)2
h2 = a2 – a2 : 4
h2 = a2 – a2
h2 = a2, wyciągamy pierwiastek;
h = (√3 : 2)a
h = a√3 : 2
Druga przekątna rombu wychodząca z kąta ostrego 60° jest dwa razy większa od wysokości takiego trójkąta równobocznego. Czyli jej długość wynosi:
d = 2(a√3 : 2)
d = a√3, gdzie a jest długością boku takiego rombu.

przykład 1
Oblicz pole rombu, wiedząc że jego bok ma długość 2 cm, a wysokość opadająca na ten bok wynosi 5 cm.
Rozwiązanie:
Wiemy, że pole rombu można obliczyć znając bok i wysokość rombu ze wzoru:
P = a*h, podstawiamy dane;
P = 2*5 cm
P = 10 cm2
odp. Pole tego rombu wynosi 10 cm2.

przykład 2
Oblicz pole rombu, wiedząc że długości jego przekątnych to 23 cm i 1,6 dm.
Rozwiązanie:
Najpierw zamieniamy decymetry na centymetry:
1,6 dm = 16 cm
Teraz obliczamy pole danego rombu ze wzoru:
P = d1*d2 : 2
P = 23*16 cm : 2
P = 23*8 cm
P = 184 cm2 = 1,84 dm2
odp. Pole tego rombu wynosi 184 cm2.

przykład 3
Oblicz długość wysokości rombu opadającej na bok o długości 5 cm, wiedząc że pole tego rombu wynosi 2 dm2.
Rozwiązanie:
Najpierw zamieniamy decymetry kwadratowe na centymetry kwadratowe:
2 dm2 = 200 cm2
P = a*h, podstawiamy dane;
200 cm2 = 5 cm*h
200 cm2 : 5 cm = h
h = 40 cm = 4 dm
odp. Wysokość tego rombu wynosi 4 dm.

przykład 4
Oblicz długość boku rombu, wiedząc że wysokość opadająca na ten bok wynosi 8 m, a pole tego rombu wynosi 12 m2.
Rozwiązanie:
P = a*h, podstawiamy dane;
12 m2 = a*8m
a = 12 m2 : 8 m
a = 1,5 m
odp. Długość boku danego rombu wynosi 1,5 m.

przykład 5
Oblicz długość jednej z przekątnych rombu, wiedząc że jego druga przekątna wynosi 190 cm, a pole wynosi 38 dm2.
Rozwiązanie:
Zamieniamy decymetry na centymetry:
38 dm2 = 3800 cm2
P = d1*d2 : 2
3800 cm2 = d1*190 cm
d1 = 3800 cm2 : 190 cm
d1 = 20 cm
odp. Druga przekątna tego rombu wynosi 20 cm.