Wzór na pole równoległoboku

Zacznijmy od czym nazywamy równoległobokiem i czym to jest:

Równoległobok jest czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych i 2 pary boków różnych (1 para jest tej samej długości, gdy druga para ma długość mniejszą, większą lub taką samą co pierwsza para boków o czym przekonasz się później). Sądzicie, że równoległobok to tylko figura jak obrazie poniżej:
I tu się po części mylicie. Równoległobok choć należy do grupy równoległoboków (tak jest grupa czworokątów zwana równoległobokami) to nie jest jedynym czworokątem z tej, grupy. Do grupy równoległoboków należą również:
kwadrat, prostokąt, romb, deltoid, wspomniany równoległobok, lecz ja będę pisał tylko o równoległoboku w tym opracowaniu

równoległobok:
Jest to czworokąt mający dwie pary boków równoległych oraz 2 pary boków różnej długości (jak wspominałem). Dla (tego) równoległoboku istnieją dwa wzory (choć możesz się spotkać z innymi, ja skupię się bardziej na tych podanych). Wzory te wyglądają następująco:

oraz:

gdzie:
P- pole równoległoboku
a- bok równoległoboku
h- wysokość upuszczona na wykorzystywany bok równoległoboku. W zależności od boku na, który jest jest upuszczona wysokość (oraz oznaczeń tych boków), może ona przyjąć (w przypadku, gdy w zadaniu są dane dwie wysokości) postać (dla boków oznaczonych 'a’ i 'b’):
lub
Służą one rozróżnieniu boku na który jest upuszczona dana wysokość.
b- drugi bok równoległoboku
sin α- wartość trygonometryczna- oznacz najmniejszy kąt (w tym przypadku) w równoległoboku- w zależności od miary kąta (α), sin α może mieć przykładowe wartości podane w tabeli:

Do zadań, gdzie mamy obliczyć pole równoległoboku, gdy mamy dane tylko długość obu boków (nie znamy wysokości) oraz największy kąt pomiędzy bokami, to przyda nam się własność, że przy jednym boku (dowolnym) równoległoboku, suma kątów wynosi 180o.

Nic więcej nie mam do powiedzenie na temat wzorów na pole równoległoboków (oraz informacji, których moglibyśmy/moglibyście użyć w celu obliczenia wymaganych nam danych), więc możemy przystąpić do rozwiązywania zadań wraz z wykorzystaniem wzorów na pole powierzchni równoległoboku:

Zad. 1
Romek, chce wyciąć równoległoboki (takie same) o boku długości 5cm, wysokości (upuszczonej na dany bok) długości 7cm oraz najmniejszym kącie 2 razy mniejszym od największego. Oblicz jaką długość ma drugi bok tych równoległoboków oraz ile maksymalnie Romek może maksymalnie wyciąć równoległoboków z kartki o wymiarach 15cm X 35cm (przy krótszym boku kartki Romek planuje umiejscowić daną w zadaniu długość jednego boku), oraz jaką zajmą one (łącznie) powierzchnię. Załóż, że w linii poziomej (czyli dla boku 5cm) zmieści się o jeden równoległobok mniej niż wyjdzie w obliczeniach.

Na początku wypisujemy dane i szukane:
Dane:
a- 5cm
h- 7cm
2 = β (to też jest dana)
wymiary kartki- 15cm X 35cm

Szukane:
b- ?
ilość równoległoboków, które można wyciąć z kartki- ?
łączne pole powierzchni wyciętych równoległoboków- ?

Rozwiązujemy:
Zacznijmy od wyliczenia drugiego boku w równoległoboku. Żeby to zrobić, musimy przekształcić drugi wzór na pole równoległoboku:

/:

Nie mamy danego pola, oraz kąta α, na szczęście do pola mamy dane wartości, by je obliczyć z pierwszego wzoru:

W zadaniu mamy dane o kącie α, który jest 2 razy mniejszy od większego oraz z wiedzy wiemy, żę suma kątów przy jednym boku wynosi 180o łatwo możemy go obliczyć:

/: 3

Z tabeli (patrz wyżej) może dowiedzieć się, że sin α wynosi

Teraz możemy podać dane do przekształconego wzoru i obliczyć długość drugiego boku:

Mamy obliczony drugi bok wszystkich równoległoboków, więc możemy przejść teraz do ilości wyciętych równoległoboków

Żeby obliczyć ilość równoległoboków przy krótszym boku kartki, musimy podzielić długość, krótszego boku kartki przez bok równoległoboku oraz odjąć jeden, więc mamy:

Czyli w poziomie zmieszczą się Romkowi dwa równoległoboki. Dla pionu zrobimy ten sam zabieg, tylko dla dłuższego boku kartki, oraz wysokości równoległoboków, lecz bez odejmowania jednego:

Czyli w pionie, Romkowi zmieści się 5 równoległoboków

Ze względu na to, że wszystkie równoległoboki tworzą dwie kolumny ( powstałe z tego, że przy jednym krótszym boku kartki zmieszczą się dwa równoległobokowi) po pięć na jedną, więc wszystkich równoległoboków jest w sumie:

Znając pole jednego równoległoboku (obliczaliśmy je wcześniej przy drugim boku równoległoboków), możemy obliczyć, że wszystkie równoległoboki zajmują w sumie powierzchnię:

Teraz po obliczeniu wszystkiego o co nas pytali możemy dać odpowiedź:

Odp. : Romek może wyciąć z kartki 10 równoległoboków o łącznej powierzchni oraz o boku długości około cm

Zad. 2
Oblicz pole powierzchni równoległoboku wiedząc, że:
a) a= 13cm h=16cm
b) a= 2cm b= 12cm α= 30
c) a= 7cm h= 8cm
d) a= 13cm b= 3cm α= 60

Rozwiązania:
a) Pole powierzchni obliczamy z pierwszego wzoru:

b) Pole powierzchni obliczamy z drugiego wzoru, wiedząc, że skoro to (patrz tabela wyżej):

c) Możemy obliczyć z pierwszego wzoru:

d) Tutaj korzystamy ze wzoru drugiego, lecz musimy znać wpierw wartość sin α. Skoro α= 60 , to patrząc na wyżej (patrz na początek opracowania) umiejscowioną tabelę wychodzi nam, że sin α = . Teraz dopiero możemy obliczyć pole równoległoboku:

Pamiętaj!!
Przy zadaniach, gdzie musimy wykorzystać wzór na pole równoległoboku, zwróć uwagę na dane długości lub/ oraz informacje, które pomogą nam w ich znalezieniu, gdyż w jednym przypadku mamy możliwość z skorzystania tylko z pierwszego wzoru, gdy w drugim mamy dane do wykorzystania wzoru drugiego oraz pamiętaj o wartości sin α dla podanych przeze mnie kątów.

Zad. 3
Martyna chce skonstruować równoległobok wysokość jest 50 razy większa od wartości sinusa, a podstawa na którą jest upuszczona ta wysokość ma długość 20cm oraz o najmniejszym kącie równym 30. Dodatkowo wysokość jest 50 razy większa od wartości sinusa. Oblicz, ile Martyna potrzebuje 'cm’ sznurka, by stworzyć ten równoległobok oraz jaką zajmie on powierzchnię? Załóż, że jednostka długości drugiego boku i wysokości to cm (czyli ich długość, po obliczeniu, masz podać w metrach)

Wypiszmy sobie dane:
a= 20cm
= 30
h= (tak to też jest dana)
Szukane:
Obw.-? (czyli długość sznurka z którego Martyna stworzy równoległobok)
P-?

Rozwiązanie:
Wiemy, że:

A skoro to wartość sinusa jest równa:

Gdy podstawimy tą wartość do wzoru, otrzymujemy:

Żeby obliczyć długość drugiego boku, musimy skorzystać z przekształconego drugiego wzoru:

/:

Niestety niewiadomą jest tutaj jeszcze pole tego równoległoboku, lecz skoro mamy daną długość podstawy oraz wysokość, możemy pole obliczyć z pierwszego wzoru:

Teraz, gdy mamy obliczone pole (które przy okazji składa się na odpowiedź do zadania) możemy podstawić nasze dane do wzoru i obliczyć długość drugiego boku:

Teraz, gdy mamy dany drugi bok tego równoległoboku, możemy obliczyć jego obwód, który jednocześnie poinformuje nas o długości sznurka, którego Martyna potrzebuje do stworzenia tego równoległoboku:

Teraz, gdy mamy wszystko o co nas pytają, możemy dać odpowiedź:

Odp.: Martyna potrzebuje 140cm sznurka na stworzenie tego równoległoboku oraz zajmie on powierzchnię

Powróćmy na razie do wzorów na pole równoległoboków, jak wiesz (z własnego doświadczenia) ze wzorów możemy również wyciągnąć dane inne niż wartość na, którą jest dany wzór. Dla wzorów na pole równoległoboku (tych dwóch, które opisywałem), po przekształceniu, możemy obliczyć (jak wiesz):
-długość obu boków równoległoboku
-wysokości (obie, zależne od upuszczonej na różne boki)
-miary kąta (z obliczonej wartości sinusa)

Wygląd wzorów (od razu bez przekształcania tylko w 'finalnej’ formie):

Czasami dzięki takim przekształceniom, możemy znaleźć zależności, których nie znamy lub nie rozumiemy (ja np,: analizując wzoru na bok oznaczony 'a’ doszedłem do wniosku, że o czym wogóle nie miałem pojęcia)
Nie będę robiła najbliższych zadań związanych z tymi wzorami, gdyż będą to zadania tylko dotyczące pola powierzchni równoległoboku

Zad. 4
Jeden z boków równoległoboków ma długość 10cm, a drugi jest o 50% od niego większy. Oblicz pole tego równoległoboku, jeśli jego najmniejszy kąt jest równy .

Rozwiązanie:
Nie mamy podanej wysokości tego równoległoboku (a ważnych informacji, które by nas do niej doprowadziłyby), dlatego skorzystamy z drugiego wzoru na pole równoległoboku.

Mamy dane, że drugi bok jest większy o 50% od pierwszego (czyli danego nam boku), czyli drugi bok stanowi 150% długości pierwszego boku, co inaczej można napisać w postaci:

(musi być w takiej formie)

Teraz wystarczy podłożyć długość drugiego boku:

Mamy dany już bok 'a’, teraz tylko musimy znać wartość sinusa.
W zadaniu dane jest, że:

Więc:

Teraz mamy wszystkie dane, więc możemy obliczać!!

Zad. 5
Oblicz pole równoległoboku, wiedząc, że wysokość jest jest dwa razy większa od boku 'a’, który jest ona upuszczona oraz najmniejszy kąt ma miarę . Dodatkowo wiesz, że wysokość upuszczona na drugi bok ma miarę 5 metrów. Za jednostkę przyjmij metry.

Rozwiązanie:
Jest to zadanie typu tego z tych trochę skomplikowanych, ale poradzimy sobie.

Mamy w zadaniu daną zależność między bokiem równoległoboku, do jego wysokości upuszczonej na ten bok:

Skorzystajmy tutaj z równości, która zachodzi (Opiszę wam ją):
Skoro:

oraz

To zachodzi nam równość:

Wiedząc, że wiemy, że:

Teraz tylko zostało podstawić dane do wzoru (wraz z zachodzącymi zależnościami między długościami oraz pominę celowo na razie podstawienie o czym przekonasz się za chwilę):

/

teraz tylko przekształcić tą zależność, a później (czyli wreszcie) podłożyć naszą wartość sinusa danego kąta:
/

Teraz tylko podstawić dane:

Teraz musimy usunąć niewymierność z mianownika:

Teraz, gdy mamy dany drugi bok, możemy obliczyć pole tego równoległoboku:

Zad. 6
Wiedząc, że w równoległoboku obwód i pole są takie same, a wysokość upuszczona na jeden z boków jest równa 10cm, oblicz pole tego równoległoboku.

Na początku zadanie może się wam wydać za trudne, lecz nie martwcie się, jest ono tak naprawdę łatwe w rozwiązaniu. Przekonacie się o tym, gdy będę je rozwiązywał

Rozwiązanie:
Na początku wypiszmy sobie tę zachodzącą zależność:

Wiemy, że w równoległoboku obwód wyraża się wzorem:

Oraz, że pole równoległoboku możemy wyrazić wzorem:

lub

Lecz my skorzystamy, ze wzoru pierwszego, ze względu na to że mamy daną wysokość, a nic nie wiemy o kątach w tym równoległoboku, więc mamy równanie w postaci:

Po podstawieniu wysokości do tej zależności otrzymujemy:
/-2a
/

Teraz podstawiamy wartość 'b’ do pierwotnej zależności:

/


Mamy wyliczone pole oraz obwód tego równoległoboku:

Zad. 7
Pewien równoległobok ma jeden bok długości 5 cm oraz wysokość, upuszczoną na ten bok, długości 6cm. Jakie jest pole powierzchni tego równoległoboku?

Rozwiązanie:
Skorzystamy ze wzoru pierwszego:

i możemy dać odpowiedź:
Odp.: równoległobok ten ma pole powierzchni równe