Wzór na pole sześciokąta

Czym jest sześciokąt?

Sześciokąt to wielokąt o sześciu kątach i sześciu bokach, w którym suma miar wszystkich kątów wynosi 720.
Sześciokąt foremny to taki, którego wszystkie boki są takiej samej długości, a wszystkie kąty mają taką samą miarę.

Odcinki w sześciokącie

Odcinki d1, d2, d3 to przekątne sześciokąta ABCDEF,
a oznacza bok sześciokąta ABCDEF.

Wzór na pole sześciokąta

Aby obliczyć pole sześciokąta należy zrozumieć, że sześciokąt jest złożony z sześciu jednakowych trójkątów równobocznych. Pole sześciokąta obliczymy zatem mnożąc pole jednego z tych trójkątów razy sześć.

Wzór na pole trójkąta równobocznego: , gdzie a oznacza długość boku trójkąta.
Zatem pole sześciokąta wynosi: .

Dodatkowe informacje

Promień okręgu wpisanego w sześciokąt ma miarę: ,
Obwód sześciokąta ma długość 6a,
Dłuższa przekątna ma długość 2a, natomiast krótsza przekątna ma długość .

Przykłady zadań na obliczanie pola sześciokąta

Przykład pierwszy: Oblicz pole sześciokąta foremnego złożonego z sześciu trójkątów, jeśli wysokość każdego z sześciu trójkątów równobocznych, z których jest stworzony wynosi .

Krok pierwszy: Zastanów się jak możesz obliczyć pole tego sześciokąta używając podanej w zadaniu informacji dotyczącej wysokości trójkąta.

Krok drugi: wykonaj obliczenia.

Wzór na wysokość trójkąta równobocznego to: , zatem możemy obliczyć długość boku trójkąta, która jest jednocześnie długością boku sześciokąta.

|
|

Skoro znamy już długość boku sześciokąta, możemy obliczyć jego pole:

Odpowiedź: Pole tego sześciokąta jest równe .

Przykład drugi: Oblicz pole sześciokąta oraz podaj miarę jego dłuższej przekątnej, jeśli wiadomo, że jego krótsza przekątna ma długość .

Krok pierwszy: zastanów się jak możesz obliczyć pole sześciokąta używając informacji o długości jego krótszej przekątnej.

Krok drugi: wykonaj obliczenia.

Wiemy, że krótsza przekątna sześciokąta ma miarę , zatem bok sześciokąta o długości a ma miarę 6. Dzięki tej informacji możemy obliczyć pole tego sześciokąta:

Obliczamy również długość dłuższej przekątnej sześciokąta:

Odpowiedź: Pole tego sześciokąta wynosi , a jego dłuższa przekątna wynosi 12.