Wzór na pole trójkąta

Wzór na pole trójkąta

Na wstępie swojej pracy przybliżę jaką figurą jest trójkąt , jakie ma cechy , właściwości i budowę . Przedstawię kilka przykładowych zadań utrwalające zdobyte wiadomości . Z kolei przejdę do omawiania głównego tematu dotyczącego pola trójkąta.

Trójkąt – to figura geometryczna ( figura płaska ) , która powstała z złączenia trzech boków .

Budowa trójkąta :

Opis budowy :
Wysokość h – kolor zielony
Ramię – kolor żółty
Podstawa – kolor pomarańczowy
Kąt prosty – kolor niebieski
Właściwości trójkąta :
1.Suma miar kątów w trójkątach wynosi 180 stopni
Przykład :
60 + 60 + 60 = 180 stopni lub 90 + 45 + 45 = 180 stopni

2.Trójkąt posiada trzy wierzchołki
Przykład :

Wierzchołki zaznaczone są na kolor czerwony .

3.Trójkąty mają trzy wysokości
Wysokość w trójkątach jest poprowadzona z wierzchołka na przeciwległy bok- nazywamy ten bok podstawą . Wysokość zawsze jest poprowadzona pod kątem prostym. Wysokość figur płaskich w matematyce zaznaczmy małą literką „h„.
Przykład :

1)
2)
3)
4.Każdy trójkąt ma trzy boki
Przykład :
Bok zaznaczony na kolor zielony.

5.Trójkąt ma trzy kąty
Przykład :

Podział trójkątów ze względu na kąty :
a) Trójkąt ostrokątny – ma wszystkie kąty ostre , czyli mniejsze niż 90 stopni.

b) Trójkąt prostokątny – ma jeden kąt prosty , czyli 90 stopni

c) Trójkąt rozwarty – ma kąt rozwarty , czyli więcej niż 90 stopni.

Wyróżniamy także dwa rodzaje kątów :
a) Kąty wewnętrzne
b) Kąty zewnętrzne

Ad.a

Kąty wewnętrzne zostały zaznaczone na kolor niebieski – ,

Ad.b

Kąt y zewnętrzne są zaznaczona na rysunku na kolor zielony –
Kąty : przylegają do kąta

Podział trójkątów ze względu na boki :
a) Trójkąt równoramienny
b) Trójkąt równoboczny
c)Trójkąt różnoboczny
Ad.a
Trójkąt równoramienny – to trójkąt , który ma co najmniej dwa boki tej samej długości .

Właściwości trójkąta równoramiennego :
Trójkąt równoramienny ma dwa boki ( ramiona ) tej samej długości
Trójkąt ramienny ma tylko jeden kąt zwany podstawą
W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie wynoszą tyle samo.
Wysokość , która pada na podstawę w trójkącie równoramiennym , zawsze dzieli go na dwa prostokątne, mniejsze trójkąty .
Suma miar kątów wynosi 180 stopni.
Ad.b
Trójkąt równoboczny – to trójkąt , który ma wszystkie boki tej samej długości.

Właściwości trójkąta równobocznego :
Wszystkie boki w trójkącie równobocznym wynoszą 60 stopni.
Wysokość w trójkącie równobocznym jest symetralna , więc dzieli go na dwa mniejsze, prostokątne trójkąty .
Suma miar kątów wynosi 180 stopni.
Ad.c
Trójkąt różnoboczny – to trójkąt , który ma wszystkie boki różnej długości .

Właściwości trójkąt różnobocznego :
Suma miar wszystkich kątów wynosi 180 stopni
Cała reszta zależy od długości boków i kątów
Wzór na obwód trójkąt :
Ob= a+b+c
Przykład :
Oblicz obwód trójkąta prostokątnego o bokach 5 cm , 8 cm i 3 cm
Dane :
a = 5 cm
b = 8 cm
c = 3 cm
Ob= a+b+c
Rozwiązanie :
Ob = 5 + 8 + 3 = 16
Odpowiedź : Obwód trójkąta prostokątnego wynosi 16 cm.

Poznaliśmy już właściwości budowę i cechy trójkąta. Teraz kolej poznać sposoby obliczania i stosowania pola trójkąta

Wyjaśnijmy czym jest pole ?

Pole powierzchni figur – to pewna miara, którą wyrażamy wielkość lub rozmiar figury , czyli zamkniętego obszaru.

Jak obliczyć pole powierzchni ?

Pole powierzchni obliczmy , a nie mierzymy . Aby je obliczyć musimy znać pewne długości oraz wzory do , których podstawiamy podane dane .

Należy pamiętać ,że w obliczeniach posługujemy się jedną miarą. Wynik zapisujemy w jednostce kwadratowej
np. cm2, m2 , km2 itp

Jednostki pola:

1m2 – jest to jednostka powierzchni kwadratu o boku równym 1m , bo 1m 1m = 1

1 cm2 – jest to jednostka powierzchni kwadratu o boku równym 1cm , bo 1cm * 1 cm = 1cm2

Analogicznie w ten sposób liczymy kolejne jednostki.

Jak obliczmy pole ?

Aby obliczyć pole danego trójkąta , należy znać długość wysokości i podstawy. Wysokość oznaczmy literką h , a podstawę literką a .

Aby obliczyć pole trójkąta musimy umieć rysować wysokości w podanym trójkącie. Bez wysokości ani rusz !
Wysokość wyznaczamy :

najpierw decydujemy z którego wierzchołka ma iść wysokość
Każdy trójkąt ma trzy wysokości , ponieważ ma trzy wierzchołki .
Rysowanie wysokości polega na tym ,że przykładamy ekierkę do podstawy i ciągniemy wysokość z naprzeciwka wzdłuż ( rysowanie pod kątem prostym)
I tym sposobem mamy narysowaną wysokość

Pole trójkąta można obliczyć na wiele sposobów :

1) Pole trójkąta można policzyć za pomocą wzoru :

P=

Jest to najpopularniejszy wzór i uczniowie najczęściej go używają.

h = to wysokość trójkąta
a = podstawa trójkąta

Aby obliczyć pole trójkąta , należy w pomnożyć wysokość razy podstawę i podzielić przez dwa.

Przykład :
Oblicz pole trójkąta , jeśli wiesz, że podstawa wynosi 8 cm a wysokość 4 cm .

Dane :
a = 8 cm
h = 4 cm

wzór na pole trójkąta = P =

Rozwiązanie :

Podstawiamy teraz liczby pod wzór :

P=

P=

P=16cm2

Pamiętaj !
Jeśli liczymy pole jednostka zawsze będzie podana w jednostce kwadratowej ( np. cm2).

2) Drugi wzór :

P=1/2absin

a , b – długość boków trójkąta
– kąt znajdujący się miedzy bokami trójkąta a i b

3) Trzeci rodzaj wzoru na pole trójkąta jest :

P=

a , b , c – długości boków trójkąta
p – jest to połowa obwodu trójkąta
p =

Zadanie 1

Oblicz pole trójkąta prostokątnego , jeśli wiesz ,że wysokość ma 8 cm , a podstawa jest 3 razy dłuższa od wysokości . Narysuj rysunek pomocniczy i określ kąty trójkąta.

Na wstępie wypisujemy podane dane.

Dane :

podstawa = 3*8
wysokość = 8 cm
Wzór na pole :

Teraz przechodzimy do rozwiązania, w którym za pomocą wzoru obliczymy pole.

Rozwiązanie :

Na początek obliczmy ile wynosi podstawa :
3 * 8 = 24 {cm]
P =

Odpowiedź : Pole trójkąta prostokątnego wynosi 96 cm2 . Występuje kąt prosty , więc jest to trójkąt prostokątny.

Zadanie 2

Wysokość trójkąta prostokątnego wynosi 3 cm , a podstawa 10 cm . Ile wynosi pole tego trójkąta? Zaznacz prawidłową odpowiedź:

A) 30 cm2
B) 15 cm2
C) 7 cm2

Aby wskazać prawidłową odpowiedź musimy obliczyć pole trójkąta.
Zatem:

Rozwiązanie :

Wysokość trójkąta prostokątnego wynosi 3 cm , a podstawa 10 cm . Ile wynosi pole tego trójkąta?
A) 30 cm2
B) 15 cm2
C) 7 cm2
Wyjaśnienie : P= , P= P=15cm2

Odpowiedź: Pole trójkąta wynosi 15 cm2. Jest to odpowiedź B.

Zadanie 3

Oblicz pola trójkątów :

a) o podstawię 10 cm , wysokość 5 cm

Na początku wypisujemy dane z zadania .

Wzór na pole :
a = 10 cm
h = 5 cm

Następnie podkładamy do wzoru :

Pamiętajmy , że centymetr razy centymetr daje nam centymetr kwadratowy .

Odpowiedz: Pole tego trójkąta wynosi 25 cm2

b) podstawa 1,2 dm , a wysokość 3 dm

Dane :

Wzór na pole :P=
a = 1,2 dm
h = 3 dm

Rozwiązanie :

Gdy mamy już wypisane dane z zadania , możemy zacząć obliczać pole danego trójkąta . Podstawiamy liczby pod wzór i obliczamy :

Odpowiedź : Pole wynosi 1,8 dm2 .

c) podstaw ma 3 mm , a wysokość 4 cm

Dane :

a = 3 mm
h = 4 cm
Wzór na pole :

Aby obliczyć pole , należy mieć takie same jednostki . W naszym przypadku , albo jednostkę mm lub cm . Zamieńmy jednostki na mm . Przypominam , że 1 cm ma 10 mm .

4 cm = 40 mm

Dopiero teraz , możemy podstawiać do wzoru :

W ostatnim kroku została nam tylko odpowiedź 🙂

Odpowiedź : Pole tego trójkąta wynosi 60 mm2.

Zadania tekstowe :

Zadanie 1

Podstawa trójkąta CBD jest równa 30 cm , , a wysokość ma długość 5 cm . Oblicz pole tego trójkąta .

Rysunek pomocniczy :

Wypisujemy podane dane z zadania:

Dane :

podstawa – 30 cm
h = 5 cm
Wzór na pole=

Rozwiązanie :

Podstawiamy dane z zadania do wzoru :

P =

Odpowiedź : Pole trójkąta wynosi 75 cm2.

Zadanie 2

Trójkąt1 ma wysokość równą 2 dm a podstawę 3 cm . Trójkąt2 ma podstawę równą 0,5 dm , a wysokość 4 dm. Oblicz pola dwóch trójkątów . Które pole jest większe ?

Zacznijmy od trójkata1:

Na samym początku wypiszmy dane

Dane :

a = 3 cm
h = 2 dm

Wzór na pole :

Rozwiązanie :

Aby oblicz pole trzeba mieć takie same jednostki. Zastanówmy się na jaką jednostkę zmieniamy : na cm czy na dm? …
Możemy zamienić dm na cm albo cm na dm.
Przypominam 1 dm = 10 cm,
czyli 2 dm będą wynosić 20 cm.
a 3 cm = 0,3 dm

Tym samym :

PIERWSZY SPOSÓB :
zamiana decymetry na centymetry

a = 3 cm
h = 20 cm

Teraz należy dane podstawić do wzoru na pole trójkąta :

Pamiętaj , że końcowy wynik zawsze podajesz w takiej jednostce na jaką zamieniłeś . W tym zadaniu jest to centymetr kwadratowy .

SPOSÓB DRUGI :

a = 3 cm = 0,3 dm
h = 2 dm

Teraz należy dane podstawić do wzoru na pole trójkąta :

Trójkąt2:

Obliczamy analogicznie jak w poprzednim trójkącie .

Wypisujemy dane :

a = 0,5 dm
h = 4 dm

Odpowiedź : Pole trójkąta nr 2 wynosi 1 dm2.

Kolejnym krokiem w tym zadaniu jest porównanie do siebie pól powierzchni podanych trójkątów.

Zatem:

P1- pole trójkąta pierwszego
P2– pole trójkąta drugiego

P1< P2 bo 0,3< 1 [ dm2]

Należy zamieniać jednostkę na taka jaką oczekują w odpowiedzi. W tym zadaniu proszono nas abyśmy podali wynik w dm2.
Można było obliczać na cm, ale potem i tak należało dokonać zamiany na dm2. Pierwszy sposób nie jest zły , ale czasowo bardziej pochłaniający. Możemy także zapomnieć o końcowej zamianie jednostki na właściwą. Dlatego proponuje aby obliczenia prowadzić na takiej jednostce, którą potem podamy w odpowiedzi.

Przejdźmy do zadań trudniejszych, w których mamy podane pole trójkąta i wysokość, a nie znamy boku.

Przykładowe Zadanie

Mamy trójkąt równoboczny, w którym pole wynosi 36 cm2. Jego bok wynosi 4 cm. Oblicz wysokość?

Wypisujemy dane:

Dane:

P=36 cm2

a= 4 cm

h=x

Przechodzimy do rozwiązania, w którym obliczymy wysokośc podanego trójkąta.

Znamy wzór na trójkąt:

Podstawiamy znane nam dane

36= / * 2 ( mnożymy przez dwa aby pozbyć się 2 z mianownika)

36*2= 4 * h
72= 4 * h
h= 72: 4
h= 18 [cm]

Tu w tym przypadku dokonaliśmy przekształcenia podstawowego wzoru aby obliczyć niewiadomą. W ten sam oto sposób możemy wyliczać np. bok ( czyli a ).

Odpowiedź brzmi: Wysokość w podanym trójkącie wynosi 18 cm ( pamiętaj że jednostki wysokości i boków nie zapisujemy już do kwadratu tylko i wyłącznie pole ).