Wzór na pole trójkata

Jest wiele różnych wzorów na pole trójkąta których używa się zależnie od dostępnych danych. Najpopularniejszym wzorem jest ah/2 (połowa iloczynu podstawy oraz wysokości do niej poprowadzonej).

Wyprowadzenie wzoru:
P = P1 + P2
2P = ah = (2 P1 + 2 P2 )/:2
P = ah/2

W przypadku trójkąta prostokątnego najczęściej rolę wysokości pełni jeden z boków. Wzór na jego pole to ab/2.

Przykłady użycia tych wzorów:

Pole trójkąta którego podstawa jest równa 3 cm a wysokość 6 cm:

P = ah/2 = 3 cm 6 cm / 2 = 18 cm2 / 2 = 9 cm2

Pole trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych równych 4 cm i 10 cm:

P = ab/2 = 4 cm 10 cm / 2 = 40 cm2 / 2 = 20 cm2

Wzór który można wykorzystać wyłącznie do trójkątów równobocznych to a2√3/4, przydatny będzie też wzór na wysokość takiego trójkąta czyli a√3/2.

Wyprowadzenie wzoru na wysokość trójkąta równobocznego:
h2 + (a/2)2 = a2
h2 + a2/4 = a2
h2 = a2 – a2/4
h2 = 3/4 a2
√h2 = √3/4 √a2
h = √3 / 2 a
h = √3 a / 2
h = a√3 / 2

Wyprowadzenie wzoru na pole trójkąta równobocznego:
P = ah/2
P = a a√3/2/2
P = a2√3/2/2
P = a2√3/4

Przykład na użycie tych wzorów:
Pole trójkąta równobocznego o boku 4:
Można to obliczyć na 2 sposoby:

Sposób 1 – użycie wzoru na pole trójkąta i wzoru na wysokość trójkąta równobocznego:

P = (4 4√3/2)/2
P = (16√3/2)/2
P = 8√3/2
P = 4√3

Sposób 2 – użycie wzoru na pole trójkąta równobocznego

P = 42√3/4
P = 16√3/4
P= 4√3

Wzór abc/4r pozwala obliczyć pole trójkąta opisanego okręgiem.

Wyprowadzenie wzoru:
P = ab/2 sin c/sin = 2r
P = ab/2 c/2r sin = c/2r
P = abc/4r

Pole trójkąta opisanego na okręgu można obliczyć ze wzoru P = (a + b + c) /2 r

Pole trójkąta można obliczyć także gdy dane są jedynie długości jego boków przy pomocy wzoru Herona P = √p(p – a)(p – b)(p – c) w którym p = połowa obwodu.

Przykład na użycie wzoru Herona:
Pole trójkąta o bokach 6, 8 i 10:

Obw = 6 + 8 + 10
Obw = 24

p = 24/2
p = 12

P = √12(12 – 6)(12 – 8)(12 – 10)
P = √12 6 4 2
P = √72 4 2
P = √288 2
P = √576
P = 24