Wzór na pole trójkąta równoramiennego

Trójkąt równoramienny- jest to figura o trzech kątach i trzech bokach, z których dwa boki są takiej samej długości- nazywamy je ramionami. Pozostały bok jest to podstawa trójkąta.

Przedstawiony na powyższym rysunku trójkąt jest trójkątem równoramiennym. Bok b stanowi podstawę tego trójkąta, zaś boki a są ramionami. Ramiona są w tym trójkącie równej długości. Kąty przy podstawie tego trójkąta- α także są sobie równe. Odcinek zaznaczony literą h jest wysokością tego trójkąta padającą na podstawę.

Aby obliczyć obwód trójkąta równoramiennego należy zsumować długości wszystkich boków (podstawy oraz ramion):
Ob.= b+ a+ a
Ob.= 2a+ b

Aby obliczyć pole trójkąta równoramiennego należy obliczyć iloczyn połowy długości podstawy i wysokości opadającej na tą podstawę:
P= · b· h

P- pole trójkąta;
b- podstawa trójkąta;
h- wysokość opadająca na podstawę trójkąta.

Wzór ten można udowodnić „przecinając” trójkąt wzdłuż wysokości, jak na poniższym rysunku:

Na rysunku widzimy powstały prostokąt którego pole jest równe polu trójkąta równoramiennego i można je opisać wzorem:
P= b· h

Szczególnym rodzajem trójkąta równoramiennego jest trójkąt równoboczny w którym wszystkie boki oraz kąty są równe sobie (jest trójkątem foremnym).

Innym szczególnym przykładem trójkąta równoramiennego jest trójkąt, który jednocześnie jest także trójkątem prostokątnym (trójkąt 90°-45°-45°). Trójkąt ten jest połową kwadratu podzielonego według przekątnej.

przekątna jego kwadratu jest przeciwprostokątnej zamalowanego na zielono trójkąta prostokątnego. Gdy chcemy obliczyć długość tego odcinka używamy wzoru wyprowadzonego z Twierdzenia Pitagorasa:
d= a√2
d- przekątna kwadratu, przeciwprostokątna trójkąta

Zadanie 1.
Oblicz miarę kąta trójkąta narysowanego na poniższym obrazku:

Rozwiązanie:
Na powyższym rysunku możemy zaobserwować trójkąt równoramienny o ramionach oznaczonych literą a, z własności tego trójkąta wynika, że kąty przy podstawie- boku oznaczonym literą b, są równej miary. Zaś miara kątów wewnętrznych w każdym trójkącie jest równa 180°. Więc miara kątów przy podstawie musi być równa połowie miary 180° od, której ówcześnie zostało odjęte 70°.

180°- 70°= 110°
Miara obu kątów przy podstawie jest równa 110°, więc miara jednego z tych kątó jest dwa razy mniejsza:
110° :2 = 55°

Odpowiedź: Miara kąta α jest równa 55°.

Zadanie 2.
Oblicz obwód oraz pole trójkąta równoramiennego o wysokości opadającej na podstawę równej 3 cm i o długości ramion równej 5 cm.

Rozwiązanie:
Aby obliczyć obwód należy znać długość każdego boku, w powyższym zadaniu nie podana została długość podstawy, która należy obliczyć używając Twierdzenia Pitagorasa w zakreskowanym obszarze na rysunku pomocniczym:

b- połowa podstawy;
b2+ (3 cm)2= (5 cm)2
b2= 25 cm2– 9 cm2
b2= 16 cm2
b= 4 cm lub b= -4 cm

Jako iż długość odcinka nie może być liczbą ujemną, to druga opcja- b= -4 cm nie należy do rozwiązań zadania.

b= 4 cm
2b- długość podstawy trójkąta
2b= 8 cm

Obwód tego trójkąta jest równy sumie długości podstawy oraz długości ramion:

Ob.= 2a+ 2b
Ob.= 2· 5 cm+ 8 cm
Ob.= 10 cm+ 8 cm
Ob.= 18 cm

Pole natomiast liczymy mnożąc długość połowy podstawy razy długość wysokości opadającej na podstawę:

P= b· h
P=4 cm· 3 cm= 12 cm2

Odpowiedź: Obwód trójkąta o podanych wymiarach wynosi 18 cm, a jego pole jest równe 12 cm2.