Wzór na pole trójkata różnobocznego

Wzory na pole trójkąta różnobocznego

Trójkąt różnoboczny – trójkąt, którego boki są różnej długości, czyli nie jest to trójkąt równoramienny lub równoboczny.
Do obliczania pola trójkąta różnobocznego możemy wykorzystać kilka różnych sposobów:
1.Najprostszy i najbardziej popularny wzór:

Korzystamy z niego kiedy znamy podstawę trójkąta (któryś z jego boków) i opadającą na tę podstawę wysokość.

Przykład:
Oblicz pole trójkąta o podstawie długości 4 i wysokości równej 8.
Rozwiązanie:
Korzystamy ze wzoru , czyli

2.Wzór, w którym potrzebujemy długości dwóch boków i kąta między nimi:


Przykład:
Oblicz pole trójkąta o bokach długości 12 i 10, jeżeli kąt między tymi bokami wynosi 30°.
Rozwiązanie:
Korzystamy z poznanego wzoru i podstawiamy do niego podane dane:

3.Wzór Herona, gdzie jedyne co potrzebujemy, to długości wszystkich boków:

gdzie p to połowa obwodu trójkąta, czyli

Przykład:
Oblicz pole trójkąta o bokach długości 5, 7 i 8
Rozwiązanie:
Korzystamy ze wzoru, pierwsze obliczamy p:

Podstawiamy do wzoru na pole:

4.Wzór na pole trójkąta wpisanego w okrąg:

gdzie R to promień okręg opisanego na trójkącie

Przykład:
Promień okręgu opisanego na trójkącie wynosi 4, a długości boków trójkąta 2, 3 i 8. Oblicz pole trójkąta.
Rozwiązanie:
Podstawiamy dane do wzoru:

5.Wzór wykorzystujący połowę obwodu trójkąta i promień okręg wpisanego w trójkąt:
, czyli
gdzie r to promień okręgu wpisanego w trójkąt, a p to połowa obwodu trójkąta

Przykład:
Oblicz pole trójkąta opisanego na okręgu o promieniu 3, jeśli boki trójkąta mają długość: 3, 4 i 7.
Rozwiązanie:
Korzystając ze poznanego wzoru, możemy podstawić do niego podane dane:

6.Wzór używany kiedy mamy podane wszystkie kąty wewnętrzne trójkąta i promień okręgu opisanego na trójkącie:

gdzie R to promień okręgu opisanego na trójkącie

Przykład:
Oblicz pole trójkąta wpisanego w okręg o promieniu równym 2, a kąty wewnętrzne trójkąta wynoszą 30°, 60° i 90°.
Rozwiązanie:
Podstawiamy dane do wzoru:

7.Wzór, który używamy kiedy mamy podane kąty wewnętrzne trójkąta i jeden z boków trójkąta:


Przykład:
Oblicz pole trójkąta o kątach wewnętrznych 30°, 60° i 90°, a bok leżący naprzeciwko kąta 30° jest równy 14.
Rozwiązanie:

8.Wzór na pole trójkąta, który znajduje się w układzie współrzędnych o wierzchołkach A=(xa,ya), B=(xb,yb) oraz C=(xc,yc):


Przykład:
Oblicz pole trójkąta, którego wierzchołki mają współrzędne A=(3,4), B=(-3,-2) i C=(1,7).
Rozwiązanie:
Korzystając z poznanego wzoru: