Wzór na prędkość

Co to „prędkość” ?
Możemy zdefiniować ją, jako wielkość fizyczna, dzięki której znamy zmianę położenia wektora w czasie. W wielu zadaniach to słowo będzie ukryte pod nazwą „szybkość”. Jest to wartość przebytej przez ciało drogi w jednostce czasu.

Możemy wyróżnić różne wzory na prędkość w zależności od rodzaju ruchu.

Wzór na prędkość w ruchu jednostajnym prostoliniowym/ średnią prędkość :
v=
„v” – oznacza prędkość
„s” – oznacza drogę
„t” – oznacza czas
Czyli prędkość w ruchu jednostajnym prostoliniowym możemy obliczyć dzieląc pokonaną drogę przez czas. Wzór, jak każdy inny możemy odpowiednio przekształcić. Pokażę to za pomocą trójkąta, jednak, by go stworzyć, musimy znać podstawowy wzór v=. Wystarczy przedłużyć kreskę ułamkową oraz „v” dać do mianownika. Otrzymujemy:

Gdy potrzebujemy obliczyć czas „t”, to wtedy zakrywamy tę literę i w trójkącie zostaje nam . Otrzymujemy wzór t=
Gdy potrzebujemy obliczyć drogę „s”, to wtedy zakrywamy tę literę i w trójkącie zostaje nam v*t . Otrzymujemy wzór s=v*t
Jest jeszcze inny sposób na przekształcanie wzorów, można to zrobić za pomocą równania:

v = [v] = /*t

s=vt [s] = []*[s] = [m] /:v

t= [t] = [] = [m*] = [s]

Teraz pokażę wzór na przyspieszenie w ruchu jednostajnie przyspieszonym prostoliniowym. Przyspieszenie oznaczamy literą „a”, jego jednostką jest . Wzór wygląda następująco:
a=. Następnie przekształcę ten wzór tak, jak poprzedni.

a= [a] = [] : [s] = [] /*t

v = a*t [v] = [] * [s] = [] /:a

t = [t] = [] : [] = [] * [] = s

Teraz pokażę to za pomocą trójkąta, jednak, by go stworzyć, musimy znać podstawowy wzór a=. Wystarczy przedłużyć kreskę ułamkową oraz „a” dać do mianownika. Otrzymujemy:

Gdy potrzebujemy obliczyć zmianę prędkości „v„, to wtedy zakrywamy tę literę i w trójkącie zostaje nam a*t. Otrzymujemy wzór
v = a*t
Gdy potrzebujemy obliczyć zmianę w czasie „t„, to wtedy zakrywamy tę literę i w trójkącie zostaje nam . Otrzymujemy wzór
t =

Istnieje też wzór na prędkość końcową w ruchu jednostajnie przyspieszonym prostoliniowym. Jednak, by go wyprowadzić potrzebujemy dwóch wzorów, wzoru na drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym prostoliniowym (jeszcze nie został on wprowadzony) oraz wzoru a = .

Najpierw przekształcę pierwszy wzór:
s = [s] = [] *[s2] = [m] /*2
2s = a* /:
a = [a] = []
Teraz przekształcę pierwszy wzór:
a = /*t
v = a*t [v] = [] * s = []
Zajmę się połączeniem tych obydwu wzorów. W tym celu zamiast „a” w drugim wzorze podstawię . Otrzymuję:
v =
v =

[v] = [m] : [s] = []
Prędkość kątowa

[] = []

Oznacza się symbolem omega. Jak widać ze wzoru jest niezależna od drogi, jakie pokonuje ciało. Prędkość kątowa jest zmianą kąta, które pokonuje ciało w ruchu obrotowym w jednostce czasu. Jednostką prędkości kątowej jest , gdzie radian to miara kąta.

WYKRESY
Wykres zależności drogi od czasu s(t) w ruchu jednostajnym, prostoliniowym.

Wykres zależności prędkości (szybkości) od czasu v(t) w ruchu jednostajnym, prostoliniowym.
W tym ruchu prędkość ma wartość stałą V=const

Wykres zależności prędkości (szybkości) od czasu v(t) w ruchu jednostajnie przyspieszonym, prostoliniowym.

Teraz zaprezentuję wykres do ruchu przyspieszonego, czyli takiego, w którym prędkość ciała rośnie. Taki ruch możemy zaobserwować, kiedy tramwaj rusza z przystanku lub spada kamień.
Przykładowy wykres:

Następnie zaprezentuję wykres do ruchu opóźnionego, czyli takiego, w którym prędkość ciała maleje. Taki ruch możemy zaobserwować, kiedy zostaje wyrzucona w górę piłka, lub patrzymy na rowerzystę, który wjeżdża na górkę i nie pedałuje.
Przykładowy wykres:

Zadania
Zad.1
Niebieski rower jechał po trawniku ze stałą prędkością. Niżej został pokazany wykres zależności prędkości tego niebieskiego roweru od czasu.

a) Odczytaj z wykresu wartość prędkości dla tego roweru podczas jazdy.
b) Zapisz prędkość tego roweru w metrach na sekundę.
c) Oblicz jaką trasę pokonał rower w czasie trwania ruchu.
d) Oblicz prędkość z jaką musiałby mieć ten rower, by przebyć trasę w sześciokrotnie krótszym czasie.
e) Narysuj wykres, na którym przedstawisz zależność drogi od czasu s(t) dla tego niebieskiego roweru.
f)Oblicz jaką drogę przebył ten rower pomiędzy 30 a 50 sekundą ruchu.
g)Jakim rodzajem ruchu poruszał się niebieski rower?

Zad.2
Biały pies porusza się z prędkością o wartości 3 . Jak długo będzie szedł, jeżeli długość po której może się poruszać wynosi 450 m?

Zad.3
Dwa samochody – zielony i żółty przejeżdżały tę samą trasę w obie strony. Długość całej trasy w obie strony wynosi w sumie 400m. Na wykresie poniżej została przedstawiona zależność drogi od czasu s(t). Dla uproszczenia zielona linia pokazuje wartości dla zielonego samochodu, a żółta linia oznacza podane wartości dla żółtego samochodu.

a) Jakim rodzajem ruchu poruszały się oba samochody (zielony i żółty) ?
b) Odczytaj z wykresu wartość przebytej drogi dla każdego samochodu w ciągu 30 min.
c) Oblicz albo odczytaj z wykresu o ile metrów więcej od wolniejszego samochodu przebył ten szybszy?
d) Oblicz ile razy mógłby przejechać całą trasę szybszy samochód a ile wolniejszy samochód w ciągu godziny?
e) Oblicz wartość prędkości dla każdego z samochodów (zielonego i żółtego) względem podłoża.
f) Oblicz wartość prędkości, z jaką poruszał się jeden z samochodów względem drugiego.
g) Oblicz ile razy szybciej poruszał się jeden z samochodów względem drugiego.
h) Narysuj wykres, na którym przedstawisz zależność prędkości od czasu v(t) dla każdego z samochodów.

Zad.4
Motor w czasie 20 s osiągnął prędkość równą 7 . Ile metrów udało mu się pokonać?

Odpowiedzi
Do zadania 1
a) Odpowiedź: Wartość prędkości tego roweru podczas jazdy wynosi 40.
b) 40 = = = 11,(1)
Odpowiedź: Prędkość tego roweru w metrach na sekundę wynosi 11,(1) .
c)Dane:
t = 60 h
v = 40
Szukane:
s=?
Wzór:
v=
Wzór po przekształceniu:
s = v*t
Podkładam podane wartości do wzoru:
s = 60 h * 40 = 2400 km
[s] = [ ] * [h] = [km]
Odpowiedź: W czasie trwania ruchu rower pokonał trasę, która wynosiła 2400 km.
d) We wzorze v= wartość drogi (s) jest stała, oznaczamy ją const. Potrzebujemy czasu sześciokrotnie krótszego, dlatego wartość czasu (t) musimy podzielić przez sześć, a wartość prędkości (v) musimy pomnożyć razy sześć. Czas w którym rower przejechał daną trasę wynosił 60 h, gdy tę wartość podzielimy przez sześć otrzymamy w wyniku 10 h. Prędkość potrzebna na przejechanie danej trasy w ciągu 60 h, wynosiła 40 , po wymnożeniu razy sześć wynosi ona 240 . Odpowiedź: Aby ten rower przebył trasę w sześciokrotnie krótszym czasie, potrzebuje uzyskać prędkość 240.
e)
f)
Dane:
t = 50 min – 30 min = 20 min
v = 40
Szukane:
s=?
Wzór:
v=
Wzór po przekształceniu:
s = v*t
Podkładam podane wartości do wzoru:
s = 20 min * 40 = h * 40 = 13,(3) km
[s] = [] * [h] = [km]
Odpowiedź: Pomiędzy 30 a 50 sekundą ruchu rower pokonał 13,(3) km.
g) Odpowiedź: Rower poruszał się ruchem jednostajnym prostoliniowym.

Do zadania 2
Dane:
v = 3
s = 450 m
Szukane:
t = ?
Wzór:
v =
Po przekształceniu:
t =
t = 450 m : 3 = 150 s.
[t] = [m] : [] = [m] * [] = [s]
Odpowiedź: Pies będzie szedł 150 s.

Do zadania 3
a) Odpowiedź: Kolarze poruszali się ruchem jednostajnym.

b) Odpowiedź: By dobrze rozwiązać to zadanie musimy wiedzieć, że 30 min = 0,5 h. Możemy też to obliczyć. (W jednej godzinie jest 60 min.)
30 min = h = h = 0,5 h

Na wykresie zaznaczyłam przerywaną, różową linią, która przecina poziomą strzałkę pod kątem prostym. Punkt przecięcia oznacza 0,5 h. Przerywana linia zachodzi też na linię żółtą i zieloną, dzięki czemu możemy odczytać z wykresu wartości przebytej w tym czasie drogi. Dla zielonego, szybszego samochodu wynosi ona 30 km, a dla żółtego, wolniejszego samochodu wynosi ona 20 km.

c)
Dla uproszczenia zaznaczone dane do rozwiązania zadania dodatkowo zaznaczyłam na wykresie. Szybszy jest zielony samochód, bo w ciągu takiego samego czasu przejechał dłuższą drogę, która wynosiła 60 km. Wolniejszy jest żółty samochód, bo w ciągu takiego samego czasu przejechał krótszą drogę, która wynosiła 40 km.By dowiedzieć się ile kilometrów od samochodu wolniejszego pokonał szybszy samochód w ciągu godziny, musimy wykonać następujące działanie:
60 km – 40 km = 20 km.
Odpowiedź: Szybszy, zielony samochód w ciągu godziny przebył o 20 km więcej od wolniejszego.

d) Z wykresu wynika, że szybszy zielony samochód w ciągu godziny pokonał 60 km.
60 km = 60 000 m
60000m : 400m = 150
Szybszy zielony samochód w ciągu godziny mógłby przejechać całą trasę 150 razy.
Z wykresu wynika, że wolniejszy żółty samochód w ciągu godziny pokonał 40 km.
40 km = 40 000 m
40 000 m : 400 m = 100
Odpowiedź: Wolniejszy żółty samochód w ciągu godziny mógłby przejechać całą trasę 100 razy.

e)Najpierw obliczę prędkość z jaką poruszał się wolniejszy, żółty samochód.
Dane:
s = 40 km
t = 1 h
Szukane:
v = ? = const.
Wzór:
v = = = 40
Żółty, wolniejszy samochód poruszał się z prędkością o wartości 40 .
Teraz obliczę prędkość z jaką poruszał się szybszy, zielony samochód.
Dane:
s = 60 km
t = 1 h
Szukane:
v = ? = const.
Wzór:
v = = = 60
Odpowiedź: Szybszy, zielony samochód poruszał się z prędkością o wartości 60 .

f) 60 – 40 = 20
Odpowiedź: Jeden z samochodów względem drugiego poruszał się z prędkością 20 .

g) Żółty, wolniejszy samochód poruszał się z prędkością 40 .
Zielony, szybszy samochód poruszał się z prędkością 60 .
= = 1 = 1,5
Odpowiedź: Zielony, szybszy samochód poruszał się 1,5 razy szybciej od pierwszego.

h)
Odpowiedź: Linią żółtą zaznaczyłam prędkość żółtego, wolniejszego samochodu. Linią zieloną zaznaczyłam prędkość zielonego, szybszego samochodu.

Do zadania 4
Dane:
t = 20 s
v = 7
Szukane:
s = ?
Tutaj skorzystam z przekształconego przeze mnie wcześniej wzoru. Wzór:
v =
Jednak ten wzór nadal potrzebuje ponownego przekształcenia, ponieważ potrzebujemy obliczyć drogę.
v = /*t
tv = 2s /:2
s = ; [s] = [] * [s] = [m]
Teraz podłożę wartości wynikające z treści zadania do przekształconego przeze mnie wzoru.
s = = 70 m
Odpowiedź: Motorowi udało się pokonać 70 m.

Do czego potrzebny nam jest wzór na prędkość ?
Dzięki wzorowi na prędkość możemy obliczyć na przykład: czas potrzebny na przejście drogi do sklepu, odległość pomiędzy dwoma punktami. Wiadomość o tym z jaką prędkością poruszmy się samochodem, sprawia, że możemy ją kontrolować i na nią wpływać, przez to możemy uniknąć mandatu za za szybką jazdę i czujemy się bezpiecznie.