Wzór na przekątną sześcianu

Sześcian to bryła, której długość, wysokość oraz szerokość są tej samej długości. Oznacza więc to, że każda z jego ścian i podstaw jest kwadratem o boku a.

Zauważ, że na każdej z jego ścian czy też podstaw możemy narysować przekątną. Oznacza to więc, że możemy również wyznaczyć przekątną całej bryły. Na rysunku powyżej oznaczyliśmy ją literą d.

Oczywiście, przekątna sześcianu może być też poprowadzona z innego do innego wierzchołka. Nie ma to większego znaczenia, gdyż każda z przekątnych będzie tej samej długości.

Narysujmy teraz przekątną podstawy. W związku z tym, że podstawą jest kwadrat, bez problemu możemy podać jej długość ze wzoru, który dobrze pamiętamy: . Teraz zauważ, że powstał nam trójkąt prostokątny, którego przyprostokątnymi są przekątna podstawy oraz wysokość sześcianu, a przeciwprostokątną tego trójkąta jest przekątna sześcianu. Obliczmy ją z twierdzenia Pitagorasa.

Takim oto sposobem otrzymaliśmy wzór na przekątną sześcianu. Wiedza ta przyda nam się przy rozwiązywaniu zadań z geometrii przestrzennej. ZAPAMIĘTAJ TEN WZÓR.

Przejdźmy do rozwiązywania zadań

zadanie 1
Jaka jest długość przekątnej sześcianu, którego krawędź wynosi 3cm?

Rozwiązanie takiego zadania jest bardzo proste, gdyż wystarczy podstawić długość naszego boku do wzoru:

Odpowiedź: Przekątna sześcianu o krawędzi 3 cm wynosi cm.

Powyższe zadanie to najbardziej typowe zadanie związane z przekątną. Na egzaminach/maturze raczej będziesz spotykać się z zadaniami, w których musisz zastosować wiedzę, a więc zazwyczaj będą to zadania, które będą wymagać przekształceń wzorów. Te trudniejsze zadania pokażę poniżej.

zadanie 2
Ile wynosi objętość sześcianu, którego przekątna wynosi 9cm.

Jak wiesz, aby obliczyć objętość tej bryły musimy znać długość boku.

W takim razie, wystarczy, że przekształcimy wzór na długość przekątnej sześcianu. Wyznaczymy a (bok). Następnie podstawimy wszystko do wzoru na objętość sześcianu.

Podstawmy do wzoru:

Odpowiedź: Sześcian o przekątnej 9cm ma objętość centymetrów sześciennych.

zadanie 3
Oblicz długość przekątnej sześcianu o objętości 27.

Jak wiesz, objętość wyraża się wzorem: , a przekątna to . Z pierwszego wzoru bez problemu możemy otrzymać długość boku a. Wystarczy użyć pierwiastka trzeciego stopnia i gotowy pierwszy etap:

Pierwiastkujemy obustronnie przez pierwiastek z trzech.

Otrzymujemy wynik!

Sprawdzenie:

W takim razie teraz czas na przekątną:

I sposób rozwiązania (gdy pamiętamy wzór na tę przekątną):

II sposób rozwiązania (gdy nie pamiętamy wzoru na przekątną):
Musielibyśmy dwa razy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa. Najpierw obliczylibyśmy przekątną podstawy sześcianu o boku a, a więc (lub też pamiętamy, że przekątną podstawy jest przekątna kwadratu o boku a):

Następnie z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć długość przekątnej sześcianu. Jednakże, pierwszy sposób jest dużo szybszy, dlatego też polecałabym ten pierwszy sposób.

Podsumowując, każdorazowo gdy zapomni ci się wzór na przekątną sześcianu, to nie poddawaj się. Zauważ, że za każdym razem gdy nie znamy tego wzoru możemy policzyć to wszystko z twierdzenia Pitagorasa. Czasem jedno twierdzenie wystarczy, a czasem (tak jak w zadaniu powyżej) musieliśmy wykonać te twierdzenie dwukrotnie. W takim razie, polecam nauczyć się tego wzoru na pamięć, bądź też nauczyć się go szybko wyprowadzać. Na górze opracowania na żółto jest zaznaczony sposób wyprowadzenia tego wzoru. Jak widzisz, także użyłam twierdzenia Pitagorasa.