Wzór na przyspieszenie

Wzór na przyspieszenie
Definicja
Zgodnie z definicją przyspieszenie to wektorowa wielkość fizyczna opisująca zmianę prędkość w czasie. Może być w najogólniejszy sposób zapisane jako pierwsza pochodna prędkości po czasie lub jako druga pochodna położenia po czasie, bo pierwszą pochodną położenia po czasie jest właśnie prędkość. Przekładając przyspieszenie na życie codzienne jest to owe „coś”, które powoduje, że działa na nas siła wciskająca w fotel podczas zwiększania prędkości w czasie jazdy samochodem.
Opóźnienie
Jeśli przyspieszenie okazałoby się mieć wartość ujemną, znaczy to tyle, że zwrot wektora przyspieszenia jest przeciwny do zwrotu wektora prędkości. Zapisując przyspieszenie ze znakiem minus, nie łamiemy zatem żadnych praw fizyki, jest to po prostu umowny zapis. W fizyce takie „ujemne” przyspieszenie nazywane jest opóźnieniem, spotykanym w życiu codziennym na przykład podczas hamowania samochodem.
Przyspieszenie w ruchu prostoliniowym
Do rozpatrywania przyspieszenia w ruchu prostoliniowym wystarczy nam jego najprostsza definicja, a więc zmiana prędkości w czasie. Wtedy przyspieszenie możemy zapisać wzorem:

Gdzie , a
Wynika stąd jednostka:
[a]=[m/s / s]=[m/s2]

Przykład:
Samochód osobowy poruszając się drogą ekspresową zwiększył w ciągu 5s swoją prędkość z 27,8m/s (ok. 100km/h) do 33,3m/s (ok. 120km/h). Przyspieszenie, które zadziałało na podróżujących wyniosło:
a= =1,1 [m/s2]
Autobus gwałtownie zahamował redukując swoją prędkość z 36 km/h do 0 w czasie 2s. Jakie przyspieszenie odczuli pasażerowie?
36 km/h = 10 m/s
a= =-5 [m/s2] (mamy zatem do czynienia z opóźnieniem równym 5 m/s2)

Przyspieszenie w ruchu krzywoliniowym
W ruchu krzywoliniowym możemy wprowadzić przyspieszenie całkowite, będące sumą przyspieszenia stycznego do toru ruchu oraz przyspieszenia dośrodkowego (inaczej zwanego normalnym), prostopadłego do toru ruchu. Ponieważ obie składowe przyspieszenia całkowitego są do siebie prostopadłe, wartość przyspieszenia całkowitego możemy policzyć z twierdzenia Pitagorasa:

Przyspieszenie w ujęciu praw dynamiki Newtona
W drugim z trzech słynnych praw dynamiki Newtona możemy odnaleźć inaczej zdefiniowane przyspieszenie, niepowiązane bezpośrednio z prędkością i czasem, ale siłą wypadkową działającą na dane ciało i jego masą. Zgodnie z nim:

Stąd otrzymujemy także nową jednostkę przyspieszenia:
[a]=[N/kg]
Jest ona szczególnie przydatna przy rozpatrywaniu przyspieszenia grawitacyjnego, podczas spadania czy przyspieszania ciał działającą siłą.
Przykład:
Jakiego przyspieszenia doznaje ważący 10kg wózek, jeśli przyłożymy do niego siłę równą 50N?
a= = 5 [N/kg = m/s2]
Jakie przyspieszenie zostanie nadane samochodowi, jeżeli silnik nadaje siłę ciągu równą 1200N, masa samochodu to 600kg i dodatkowo działają na niego siły oporu o wartości 800N?
a= = = 0,67 [m/s2]
Przyspieszenie dośrodkowe
Przyspieszenie dośrodkowe to przyspieszenie jakiego doznaje ciało poruszające się po okręgu. Jest ono skierowane prostopadle do kierunku ruchu ciała.
Wzór na przyspieszenie dośrodkowe można wyprowadzić korzystając rachunku różniczkowego lub w inny sposób, opierający się na pewnych intuicyjnych założeniach. Przyjmijmy, że ciało porusza się po okręgu o promieniu r ze stałą prędkością v. W chwili t, bliskiej 0, zmieniło swoje położenie o wartość Δs, a Δv jest równa wektorowe różnicy prędkości. Ponieważ t dąży do 0, wektor Δv jest skierowany do środka okręgu. Przedstawiając tak opisaną sytuacje na schemacie można zauważyć, że:

(co wynika z porównania odpowiednich trójkątów podobnych)
Stąd mnożąc razy v i dzieląc obie strony przez Δt otrzymujemy:

Ponieważ Δs/Δt to v, a Δv/Δt to nasze szukane a, dostajemy końcowy wzór:

Zatem przyspieszenie dośrodkowe jest co do wartości równe ilorazowi kwadratu prędkości z jaką porusza się ciało po okręgu oraz promienia tego okręgu.
Przykład:
Oblicz przyspieszenie dośrodkowe działające na ciało poruszające się z prędkością 10 m/s po okręgu o r=50cm.
r=50cm=0,5m
a= =200 m/s2
Przyspieszenie kątowe
Przyspieszenie kątowe to zgodnie z definicją zmiana prędkości kątowej w czasie. Wzorem można zapisać je jako:

Wynika stąd jednostka:
[ε]=[rad/s2]
Co ciekawe, w zależności od definicji prędkości kątowej, przyspieszenie kątowe można określić jako wielkość skalarną lub pseudowektor leżący na osi obrotu.
Przykład:
Jakiego przyspieszenia kątowego doznało ciało poruszające się po okręgu, które w ciągu 1 sekundy zmieniło okres swojego obrotu z π do π/2 sekund.
Ponieważ
ω1= =2 [rad/s]
ω2= =4 [rad/s]
ε= =2 [rad/s2]
Przyspieszenie grawitacyjne
Na samym początku rozpatrywania przyspieszenia grawitacyjnego warto przypomnieć pewien znany eksperyment myślowy zaproponowany przez Alberta Einsteina, dający pewne wyobrażenie o układach nieinercjalnych i naturze samego przyspieszenia grawitacyjnego. Z doświadczenia wszyscy wiemy, że przyspieszenie grawitacyjne związane jest z siłą powszechnego ciążenia, wynikającą z tego, że każde dwa ciała we Wszechświecie przyciągają się wzajemnymi oddziaływaniami grawitacyjnymi. Jednak Einstein zaproponował następującą rzecz: wyobraźmy sobie, że znajdujemy się w windzie, na którą nie działają żadne siły grawitacyjne. Winda porusza się z przyspieszeniem równym przyspieszeniu grawitacyjnemu na Ziemi ( czyli g wynoszącemu w przybliżeniu 9,81 N/kg). W takim przypadku odczujemy to jakby coś wciskało nas w podłogę windy z siłą równą (zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona) Fg=mg, a więc taką samą jaką odczuwamy stojąc na Ziemi. W jaki więc sposób możemy odróżnić obie te sytuacje – poruszanie się windą z przyspieszeniem równym g i spoczywanie na powierzchni Ziemi? Okazuje się, że w tym eksperymencie myślowym jest to niewykonalne.
Przechodząc, już do samego przyspieszenia grawitacyjnego, zacznijmy od wyprowadzenia wzoru. W tym celu skorzystamy z II zasady dynamiki Newtona oraz wzoru na siłę grawitacyjną.
F=ma
F=
Łącząc te dwa wzory otrzymujemy:
ma=
Skracamy masy i dostajemy ostateczny wzór na przyspieszenie grawitacyjne.
a=
Gdzie G to stała grawitacyjna wynosząca 6,67 * 10-11 Nm2/kg2
Przykład:
Oblicz przyspieszenie ziemskie. Przyjmij, że:
masa Ziemi = 6 *6 * 1024 kg
promień Ziemi = 6,371 *106 m
g=6,67 * 10-11 * 6 * 1024 / (6,371 *106)2=9,8 [N/kg]

Wartość przyspieszenia grawitacyjnego można obliczyć korzystając z wahadła matematycznego. Stojąc na jakieś planecie wystarczy zmierzyć okres drgań wahadła i znać jego długość. Wtedy wartość przyspieszenia grawitacyjnego obliczymy z przekształconego wzoru na okres drgań wahadła.

Przykład:
W pracowni fizycznej na planecie X zmierzono, że wahadło o długości 2 metrów ma okres drgań wynoszący 3 sekundy. Wyznacz wartość przyspieszenia grawitacyjnego na podstawie wykonanego doświadczenia.
l=2m
T=3s
a= 8,76 [m/s2]

Na sam koniec możemy przystąpić do wyprowadzenia wzoru na przyspieszenie z jakim zsuwa się ciało z równi pochyłej. Z rozkładu sił otrzymujemy:
Fwypadkowa=Fzsuwająca – Ftarcia
ma=mg sinα – fmg cosα
a=g (sinα – f cosα)
Gdzie f – współczynnik tarcia.