Wzór ogólny ciągu arytmetycznego

Czym jest ciąg arytmetyczny?

Ciąg arytmetyczny to ciąg liczbowy, w którym każdy kolejny wyraz powstaje poprzez dodanie do poprzedniego pewnej stałej różnicy r.

Wzór ogólny ciągu arytmetycznego to:

, gdzie: oznacza n-ty wyraz ciągu, oznacza pierwszy wyraz ciągu a to różnica ciągu.

Przykłady zadań

Przykład pierwszy: pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 2, a drugi wyraz tego ciągu wynosi 5. Ustal wzór ogólny tego ciągu arytmetycznego.

Rozwiązanie:

Krok pierwszy: wypisz dane z zadania. Może ci to pomóc w jego rozwiązaniu.

Krok drugi: zastanów się jakich danych jeszcze potrzebujesz, aby rozwiązać zadanie. W tym przypadku będziemy potrzebować wartości różnicy ciągu. Obliczamy ją zatem:

Krok trzeci: podkładamy dane do wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego:

Krok czwarty: możesz sprawdzić czy wzór ogólny ciągu jest poprawny. W tym celu należy podstawić za oraz odpowiednie liczby:

, czyli wzór został ustalony poprawnie.

Odpowiedź: Wzór ogólny tego ciągu arytmetycznego to .

Przykład drugi: Jeśli wiadomo, że suma pierwszych trzech wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa 18, a trzeci wyraz tego ciągu jest równy 11, ustal wzór tego ciągu.

Rozwiązanie:

Krok pierwszy: wypisz dane, o których mowa w zadaniu.

Krok drugi: zastanów się czego jeszcze potrzebujesz, aby rozwiązać zadanie. Na pewno będziemy potrzebować wartości , czyli różnicy ciągu oraz wartości . Skoro w zadaniu mowa o sumie wyrazów, warto znać również wzór na sumę: . Dzięki niemu możemy obliczyć wartość pierwszego wyrazu tego ciągu arytmetycznego:

Krok trzeci: skoro znamy już wartość pierwszego wyrazu ciągu możemy obliczyć ile wynosi r używając to tego celu wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego. Podkładamy zatem do wzoru:

Krok czwarty: ustal wzór ogólny tego ciągu arytmetycznego.

Odpowiedź: Wzór ogólny tego ciągu arytmetycznego to .