Wzór Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Pitagorasa to twierdzenie dotyczące trójkątów prostokątnych, które przypisuje się Pitagorasowi – greckiemu matematykowi i fizykowi, który żył w VI w p.n.e. Najczęściej wykorzystuje się je do obliczenia jednego z boków trójkąta prostokątnego, kiedy znamy długości dwóch pozostałych boków.

Trójkąt to wielokąt o trzech bokach i kątach, którego suma kątów wewnętrznych wynosi 180°. Natomiast trójkąt prostokątny to trójkąt, który ma jeden kąt prosty, czyli mierzący 90°. Dwa boki wychodzącego z tego kąta to przyprostokątne, ponieważ są przy kącie prostym, a trzeci bok – leżący naprzeciw tego kąta nazywamy przeciwprostokątną.

Treść twierdzenia Pitagorasa to:
W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta.
Jego wzór to:
a2 + b2 = c2, gdzie a i b to przyprostokątne, a c to przeciwprostokątna danego trójkąta prostokątnego.
W geometrii oznacza to, że jeżeli zbudujemy trzy kwadraty o bokach, które są bokami jednego trójkąta prostokątnego, to suma pól dwóch mniejszych kwadratów będzie równa polu trzeciego kwadratu. Dzieje się tak ponieważ pole kwadratu oblicza się ze wzoru a2, gdzie a to jego bok, np.
P1 + P2 = P3
a2 + b2 = c2
32 + 42 = 52
9 + 16 = 25

Każde trzy liczby całkowite, które spełniają równanie Pitagorasa nazywamy trójkami pitagorejskimi. Mogą one być długościami boków trójkąta prostokątnego. Największa z nich jest długością przeciwprostokątnej, pozostałe dwie to przyprostokątne.
Przykłady trójek pitagorejskich:
3, 4, 5
5, 12, 13
6, 8, 10
12, 16, 20.
Warto zauważyć, że jeżeli trójka liczb (np. a, b, c) jest pitagorejska, to trójką pitagorejską jest też wielokrotność tej trójki, (np. xa, xb, xc) dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej x.
Trójka pitagorejska jest pierwotna zawsze wtedy, gdy wszystkie trzy jej liczby(np. a, b, c) nie mają wspólnego dzielnika większego od 1. Wynika z tego, że z każdej trójki pitagorejskiej możemy wyprowadzić pierwotną, gdy podzielimy ją przez największy wspólny dzielnik tej trójki. Każdą trójkę pitagorejską możemy wyprowadzić z pierwotnej poprzez pomnożenie jej wszystkich czynników przez największy wspólny dzielnik czynników trójki pitagorejskiej, którą chcemy otrzymać.
Niektóre trójki pitagorejskie można otrzymać ze wzoru:
a = 2x + 1
b = 2x(x + 1)
c = 2x2 + 2x + 1, gdzie x to dowolna dodatnia liczba całkowita;

przykład 1
Długości dwóch krótszych boków trójkąta prostokątnego to 9 i 12. Ile wynosi długość trzeciego boku tego trójkąta?
Rozwiązanie:
a2 + b2 = c2, podstawiamy dane;
92 + 122 = c2
81 + 144 = c2
c2 = 225
c = √225
c = 15
odp. Długość najdłuższego boku tego trójkąta prostokątnego wynosi 15.

przykład 2
Jeśli długości dwóch przyprostokątnych to 7 cm i 8 cm to jaka jest długość przeciwprostokątnej w tym trójkącie.
Rozwiązanie:
a2 + b2 = c2, podstawiamy dane;
72 + 82 = c2
49 + 64 = c2
c2 = 113cm
c = √113 cm
odp. Długość trzeciego boku tego trójkąta to √113 cm.

przykład 3
Dwa dłuższe boki trójkąta prostokątnego są równe 15 i 17. Ile wynosi długość trzeciego boku tego trójkąta?
Rozwiązanie:
a2 + b2 = c2, podstawiamy dane;
a2 + 152 = 172
a2 + 225 = 289
a2 = 289 – 225
a2 = 64, pierwiastkujemy równanie;
a = √64
a = 8
odp. Najkrótszy bok tego trójkąta wynosi 8.

przykład 4
Zła czarownica uwięziła Roszpunkę w wysokiej wieży bez drzwi, która była otoczona fosą o szerokości 7 m. Jak długiej drabiny będzie potrzebował dzielny rycerz, żeby uwolnić Roszpunkę, jeśli wysokość wieży do jej okna wynosi 24 m?
Rozwiązanie:
a2 + b2 = c2, podstawiamy dane;
72 m + 242 m = c2m
49 m + 576 m = c2m
c2 = 625 m, pierwiastkujemy równanie;
c = 25 m
odp. Dzielny rycerz będzie potrzebował drabiny o długości 25 m, aby uwolnić Roszpunkę.

przykład 5
Jakie jest pole kwadratu o przekątnej 11√2?
Rozwiązanie:
UWAGA: Kwadrat to wielokąt, który ma cztery równe boki i cztery kąty proste. Jego przekątna dzieli go na dwa identyczne trójkąty prostokątne równoramienne. Jego pole oblicza się biorąc jego bok do kwadratu.
a2 + b2 = c2, podstawiamy długość przekątnej kwadratu;
a2 + b2 = (11√2)2, wiemy też, że ten trójkąt jest równoramienny, czyli jego ramiona są równe;
a2 + a2 = 121*2
2a2 = 121*2, dzielimy równanie przez 2;
a2 = 121, pierwiastkujemy działanie;
a = √121
a = 11, podstawiamy bok do wzoru na pole kwadratu;
P = a2
P = 112
P = 121
odp. Pole tego kwadratu wynosi 121.