Wzory Cramera

Do czego służą wzory Cramera?

Układ równań liniowych możemy rozwiązać na wiele różnych sposobów. Jednym z nich jest metoda wyznacznikowa, do której niezbędna jest właśnie znajomość wzorów Cramera, za których pomocą możemy obliczyć poszukiwane niewiadome. Wzory Cramera możemy stosować tylko w układach, w których liczba niewiadomych jest równa liczbie równań. Drugim warunkiem jest ≠ .

Wzory Cramera wyglądają następująco:

oraz ,

gdzie:

– wyznacznik główny,
– wyznacznik niewiadomej ,
– wyznacznik niewiadomej .

Aby zrozumieć, czy są wyznaczniki i jak je obliczyć, posłużmy się poniższym układem liniowym:

{
{

Najpierw przeliczmy wszystkie trzy wyznaczniki według wzorów:

Jeśli ≠ , możemy za pomocą wzorów Cramera obliczyć jedyne rozwiązanie tego układu.
Jeśli , oraz , układ jest nieoznaczony.
Natomiast jeśli , ale ≠ lub ≠ , układ jest sprzeczny.

A więc tylko w pierwszym przypadku możemy użyć wzorów Cramera.

Sprawdźmy teraz ich skuteczność na przykładach:

Mamy dany układ równań:

{
{

Najpierw sprawdźmy, czy wyznacznik główny jest różny od .

≠

Skoro ≠ , przeliczmy pozostałe wyznaczniki:

Skoro zarówno ≠ jak i ≠ , możemy użyć wzorów Cramera:

A więc rozwiązaniem powyższego układu równań są i .

Spróbujmy rozwiązać jeszcze jeden układ równań:

{
{

Teraz sprawdźmy, czy wyznacznik główny jest różny od

Skoro ≠ , sprawdźmy wyznaczniki niewiadomych i

Ani jeden, ani drugi nie jest równy , zatem możemy użyć wzorów Cramera:

Rozwiązaniem są zatem liczby i .

Podsumowując, wzory Cramera wykorzystujemy przy rozwiązywaniu układu równań, w których liczba niewiadomych jest równa liczbie równań oraz gdy wyznacznik główny jest różny od