Wzory na całki

Pierwszym podstawowym wzorem opisującym całkę funkcji stałej jest:

Ten ogólny wzór ma oczywiście swoje zastosowanie, np.:

Jeśli mamy do czynienia z całką funkcji wielomianowej albo też potęgowej, to używamy tego wzoru:

(przy założeniu, że n jest różne od -1 !!!)

Przykładami zastosowania tego wzoru są poniższe całki:

Teraz przejdziemy do całek konkretnych funkcji.

1 . lub też następy równoważny zapis: to całki funkcji o wzorze

2 . Jeśli chcemy obliczyć całkę funkcji wyrażonej wzorem: (odwrotność funkcji liniowej, gdyż funkcja liniowa jest wyrażona wzorem: y=ax+b), powinniśmy skorzystać z poniższego wzoru:

Przykładowe zastosowanie tego wzoru pokazuję poniżej:

3 . Oczywiście nie mogło zabraknąć nam funkcji trygonometrycznych. Wyróżniamy 4 całki podstawowych tych funkcji:

4 . Zastosowaniem wzoru na całkę funkcji jest poniższa całka:
. Ogólny wzór, który stosujemy to:

5 . Skoro mieliśmy wzór na całkę z cosinusem, to czas na wzór całki funkcji wyrażonej wzorem: . Ten wzór to:

Przykładowe zastosowanie tego wzoru jest pokazane obok:

6 . Teraz czas na wzory z kwadratem cosinusa:

7 . Przyszła kolej na wzór z kwadratem sinusa:

Teraz czas na te wzory całek, które zajmują troszkę więcej miejsca, i które wydają się być bardziej skomplikowane.

Zastosowaniem wzoru całki: jest następująca całka:
Całkę o wzorze: możemy zastosować jako:
Wzór całki pokazany obok: , możemy zastosować między innymi w tym przykładzie:
to przykład zastosowania wzoru całki:

Przed ostatnią partię wzorów na całki stanowi „partia” wzorów całek funkcji hiperbolicznych. Wyróżniamy cztery takie wzory:





Na sam koniec zostawiłam dosyć dwa ważne, ale stosunkowo proste wzory całkowe wybranych funkcji.

Pierwszym z nich jest wzór całki:
Drugi wzór to: . Zastosowanie tego wzoru to na przykład: czy też .

Należy pamiętać, że to są tylko wybrane wzory całkowe wybranych funkcji. W Internecie czy też na uczelniach możemy spotkać się z dużo większą ilością wzorów. Ja postanowiłam przedstawić najważniejsze (według mnie) z wszystkich wzorów.

Aby ułatwić Ci naukę tych wzorów, polecam zrobić sobie print-screan’a poniższych wzorów. Są to wszystkie powyżej pokazane wzory bez przykładów. Z własnego doświadczenia wiem, że takie fiszki bardzo ułatwiają rozwiązywanie zadań. Polecam Ci wydrukować sobie poniższe wzory, a następnie włożyć tę karteczkę do zeszytu. Każdorazowo przy rozwiązywaniu zadania masz wtedy możliwość skorzystania z podpowiedzi w postaci wzoru. Nie tracisz wtedy czasu na szukaniu wzorów w Internecie, a także nie rozpraszasz swojej uwagi, gdyż cały czas jesteś skoncentrowana/skoncentrowany na rozwiązaniu zadania.

Poćwiczmy rozwiązywanie zadań z tymi wzorami.

zadanie 1
Oblicz całkę obok: . W ramach podpowiedzi, skorzystaj ze wzoru: , dla n różnego od minus 1.

Aby rozwiązać takie zadanie musimy przekształcić wzór naszej całki. Aby to zrobić, podzielimy każdy z wyrazów tej całki przez mianownik.

zadanie 2
Spróbuj wyliczyć całkę:

Aby rozwiązać tę całkę przyda nam się ten wzór:

Zaczynamy od podniesienia do kwadratu licznik.

W tym przejściu przyda nam się znajomość jeszcze jednego wzoru. Wykorzystamy go w drugim elemencie.

Wracamy do obliczania. Przy pierwszym elemencie powinnam w zasadzie dopisać jeszcze „+C”, co wynika z naszego wzoru. W ostatnim przejściu stosuję powyższy wzór, a tym samym otrzymuje końcowy wynik naszej całki.