Wzory pochodne

Wzory pochodne

Pochodne funkcje można liczyć bezpośrednio z definicji, ale dużo łatwiej posługiwać się wzorami. Nie musimy wówczas liczyć granic ilorazu różnicowego, tylko stosujemy proste wzory i reguły liczenia pochodnych.

Istnieje niezliczona ilość zastosowań pochodnych funkcji. Oto

Wzory pochodnych wybranej funkcji :
Aby obliczyć pochodne należy znać reguły różniczkowania oraz poniższe wzory

Funkcja Pochodna funkcja Wytłumaczenie
Pochodna funkcji zawsze wyniesie 0












arc sin
arc cos

Aby obliczyć pochodną funkcji przedstawiłam powyżej wzory.
Najważniejsze wzory przedstawię poniżej, które najczęściej pojawiają się w zadaniach.

Najważniejsze wzory ,aby policzyć pochodną : (najczęściej pojawiają się w zadaniach)

wzór najważniejszy.
Określa: x do potęgi a= ax do potęgi a-1 ( wykładnik zmniejsza się o 1)

2.
Pochodna sinusa x jest równa cosinusowi x

3.
Pochodna cosinusa x jest równa minus sinus x

4.
Pochodna z tangensa x jest równa 1 nad cosinus kwadrat x

5.
Pochodna z cotangensa x jest równa minus 1 nad sinus kwadrat x

6.

Funkcja odwrotna. Pochodna Arcus sinus x jest równa jeden nad pierwiastek z jeden minus x

7.

Pochodna z arcus tanges x jest równa jeden nad jeden plus kwadrat x.

8.

Pochodna z e do x jest równa e do x. ( nic się nie zmienia). Funkcja wykładnicza.

9.

Pochodna z funkcji wykładniczej , a do x , gdzie a to dowolna liczba dodatnia jest równa a do x logarytm naturalny z a.

10.

Pochodna logarytmu naturalnego x ( wsadzony w wartość bezwzględną) jest równa jeden nad x. l- Nazywamy go logarytmem naturalnym o podstawie e.

11.

Pochodna z pierwiastka x jest jeden nad dwa pierwiastek z x.

12.

Pochodna funkcji 1 nad x jest równa minus jeden nad x kwadrat.

Wszystkie te wzory zachodzą przy odpowiednich założeniach. Musimy zastanowić się nad dziedzina danej funkcji.
Podając i stosując dane wzory wypisujemy ich założenia.

Istnieje bardzo dużo zastosowań pochodnych . Oto kilka z nich :

1) Zastosowanie pochodnych w wykresach
2) W badaniach monotonicznych
3) W badaniach zmienności funkcji
4) Używamy w wypukłościach oraz ekstremów funkcji

Przykład zastosowania :

Zadanie 1

Oblicz pochodne następujących funkcji :

Jak widzimy ta funkcja to zwykły wielomian czwartego stopnia. Wielomian jest określony dla każdej liczby rzeczywistej Przerzucamy 4 przed 7 i je ze sobą mnożymy , a x przepisujemy . Musimy to podstawić pod wzór numer 1 , czyli .
W tym przypadku a będzie liczbą 7 oraz od potęgi 4 odejmujemy 1 . Tak samo postępujemy z . W pochodnej -5x mamy w domyśle potęgę 1 .Jeśli przerzucimy tą 1 do przodu i pomnożymy przez -5 to i tak się nic nie zmieni .Znowu podstawiamy pod wzór numer 1 i jak odejmiemy potęgę 1 od 1-dynki to wyjdzie nam potęga 0 , a x do potęgi 0 to jest 1 dlatego piszemy -5 bez x .W naszym przypadku pochodna 12 wynosi 0 , więc nic po -5 nie piszemy .

I to jest rozwiązanie tego zadania

Na powyższym zadaniu zakończę moje opracowanie . Mam nadzieje ,że przybliżyłam Wam wzory pochodnych . Wiem ,że z wiekiem moja wiedza się powiększy :).