Wzory pochodnych

WZORY POCHODNYCH

Czym jest pochodna?

Jest to skończona granica w punkcie.
Wyraża się ją wzorem:

f'(x0)=

Przykład

Mamy funkcję f(x)=5x2 i musimy obliczyć jej pochodną w punkcie P(5,125).

Dane:
x=x
f(x)=5x2
x0=5
f(x0)=f(5)=125

Wstawiamy teraz nasze dane do wzoru .

f'(5)= = =

Zatem funkcja ma pochodną w x0=5, która jest równa 10.

Jednak aby wyznaczyć pochodne nie musimy za każdym razem liczyć granicy, istnieją gotowe wzory, które pozwolą zrobić nam to znacznie szybciej. Warto zapoznać się z nimi, ponieważ wtedy można zaoszczędzić trochę czasu przy rozwiązywaniu zadań.

UWAGA
Zawsze trzeba pamiętać o wyznaczeniu dziedziny funkcji i dziedziny pochodnej !!!

Rozpatrzmy trzy przypadki

1) f(x)=bxa dla a >0 , x R , bR 2) f(x)=bxa dla a <0 , x R{0} , b R 3)f(x)=a , gdzie a to stała np.a=1

f'(x)=baxa-1 f'(x)=baxa-1 f'(x)=0

Dzięki tym wzorom jesteśmy w stanie obliczyć pochodne wielu funkcji.

Przykłady

1) f(x)= x

Korzystamy ze wzoru f'(x)=baxa-1, w tym wypadku b=1 i a=1, zatem

f'(x)=1*1*x1-1 =x0=1

Df=Df’=R

2) f(x)= x16

Korzystamy ze wzoru f'(x)=baxa-1, w tym wypadku b=1 i a=16 zatem

f'(x)=1*16*x16-1 =16x15

Df=Df’=R

3) f(x)= 5x4

Korzystamy ze wzoru f'(x)=baxa-1, w tym wypadku b=5 i a=4 zatem

f'(x)=5*4*x4-1 =20x3

Df=Df’=R

4) f(x)= 7dla x 0

Korzystamy ze wzoru f'(x)=baxa-1, w tym wypadku b=7 i a= zatem

f'(x)=7* *x -1 = x = dla x>0

Przejdźmy teraz do bardziej złożonych funkcji, aby policzyć ich pochodne używa się poniższych wzorów

1)pochodna sumy 2)pochodna różnicy 3)pochodna iloczynu 4)pochodna ilorazu f(x)≠0

(g(x)+f(x))’=g'(x)+f'(x) (g(x)-f(x))’=g'(x)-f'(x) (g(x)*f(x))’=g'(x)*f(x)+f'(x)*g(x) ( )’=

PAMIĘTAJ O DZIEDZINACH ! (zwłaszcza, gdy dziedziną nie jest zbiór liczb rzeczywistych)

Przykłady
1)h(x)=5x2 +3

h'(x)=(5x2)’+(3)’=5*2*x+0=10x
Dh=Dh’=R

2)h(x)=10x3-10x

h'(x)=(10x3)’-(10x)’=10*3*x2-10=30x2-10
Dh=Dh’=R

3)h(x)=6x2*32x

h'(x)=(6x2)’ *32x+6x2 *(32x)’=12x*32x+6x2*32=576x2
Dh=Dh’=R

4)h(x)= dla x R{0}

h'(x)=

Dh’=x∈R{0}

A co , gdy mamy do czynienia z funkcją złożoną? W takim wypadku także korzystamy ze specjalnego wzoru.
Warto dodać, że każda funkcja złożona składa się z funkcji zewnętrznej i wewnętrznej.

Funkcje złożone zapisujemy tak:
f(x)=g(h(x)) lub f(x)=(g°h)(x)

g(x)–>funkcja zewnętrzna
h(x)–>funkcja wewnętrzna

Przykłady

1)f(x)=(5x-1)2

Funkcją wewnętrzną jest 5x-1, natomiast zewnętrzną x2.

2)f(x)=

Funkcją wewnętrzną jest 10x3-5x+4, natomiast zewnętrzną .

TRZEBA PAMIĘTAĆ O WYZNACZENIU DZIEDZINY FUNKCJI !!!

3)f(x)=

Funkcją wewnętrzną jest x3-6, natomiast zewnętrzną .

TRZEBA PAMIĘTAĆ O WYZNACZENIU DZIEDZINY FUNKCJI !!!

Aby obliczyć pochodną funkcji złożonej f(x)=g(h(x)) korzystamy ze wzoru:

f'(x)=g'(h(x))h'(x)

Wzór może wydawać się skomplikowany, dlatego też najważniejszm krokiem jest wyznaczenie funkcji zewnętrznej i wewnętrznej.

g(x)–>funkcja zewnętrzna
h(x)–>funkcja wewnętrzna

Przykład 1
1)f(x)=(5x-1)2
5x-1 –> funkcja wewnętrzna (oznaczmy ją jako h(x))
x2 –> funkcja zewnętrzna (oznaczmy ją jako g(x))

h(x)=5x-1 g(x)=x2

Korzystamy ze wzoru f'(x)=g'(h(x)) h'(x)
Aby wyznaczyć g'(h(x)) musimy wyznaczyć pochodną funkcji g(x) (funkcji zewnętrznej) , a następnie w miejsce x wstawić wzór funkcji h(x) (funkcji wewnętrzej)

g'(x)=2x

Aby wyznaczyć g'(h(x)) x zamieniamy na 5x-1 i otzrymujemy:

g'(h(x))=2(5x-1)

Wyznaczamy także h'(x)

h'(x)=5

Liczymy pochodną funkcji złożonej f(x)

f'(x)=g'(h(x)) h'(x)= 2(5x-1) 5=10(5x-1)=50x-10

Dh=Dh’=R

Ktoś mógłby zadać pytanie czy pochodnej funkcji f(x)=(5x-1)2 nie można obliczyć w inny sposób. Oczywiście, że można. Oto dwa z nich:

1)Stosujemy wzór skróconego mnożenia
f(x)=(5x-1)2 =25x2-10x+1
Liczymy pochodną ze wzorów na pochodną różnicy i sumy
f'(x)=(25x2)’-(10x)’+(1)’=50x-10+0=50x-10

2)Stosujemy wzór na pochodną iloczynu
f(x)=(5x-1)2 =(5x-1)(5x-1)
f'(x)=(5x-1)'(5x-1)+(5x-1)(5x-1)’=5(5x-1)+5(5x-1)=10(5x-1)=50x-10

Każdy z tych sposobów jest poprawny, więc to ty decydujesz, który jest dla Ciebie najlepszy.

Przykład 2

f(x)=

1)wyznaczamy dziedzinę
x-10 0
x 10
Df😡 10

2)liczymy pochodną ze wzoru na pochodną funkcji złożonej

Funkcją zewnętrzną jest , a wewnętrzną x-10.

f'(x)= =

3)Wyznaczamy dziedzinę pochodnej

x-10>0
x>10
Df’:x>10

A co, gdy trzeba będzie wyznaczyć pochodną funkcji trygonometrycznych? Korzystamy wówczas z konkretnych wzorów.

(sin x)’=cosx
(cos x)’=-sinx
(tg x)’= x R{ dla }
(ctg x)’= x R{kπ dla k }

Przykłady

1) f(x)=sin (2x+1)
Df😡 R
Funkcja ta jest funkcją złożoną. Funkcja sin x to funkcja zewnętrzna, 2x+1 – wewnętrzna.

f'(x)=cos(2x+1) 2=2cos(2x+1)

Df’=Df

2)f(x)=sinxcosx

Df=x R

Stosujemy wzór na pochodną iloczynu

f'(x)=(sin x)’cosx+(cosx)’sinx=cosx cox-sinx sinx=cos2x-sin2x

Df’=Df

Mam nadzieję, że wiesz już jak wyznaczać wzory pochodnych :).