Opracowanie:
Wzory skróconego mnożenia
Wzory skróconego mnożenia
Wzory skróconego mnożenia
Kwadrat sumy, kwadrat różnicy, iloczyn sumy i różnicy (różnica kwadratów)
Usuwanie niewymierności z mianownika
Zwijanie wzorów skróconego mnożenia
Dowody z użyciem wzorów skróconego mnożenia
Inne wzory skróconego mnożenia (sześcian sumy, sześcian różnicy, suma sześcianów, różnica sześcianów, kwadrat sumy trzech wyrazów)
Pewniaki maturalne – podstawa
Obliczanie wartości wyrażenia algebraicznego
Dowody algebraiczne
Dowody algebraiczne dla rozszerzenia
Podsumowanie wiadomości
1. Podstawowe wzory skróconego mnożenia
Omawianie tego tematu, zaczniemy od krótkiego ćwiczenia:
Ćwiczenie 1:
Przedstaw wyrażenia w postaci sumy algebraicznej:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Rozwiązania i odpowiedzi:
a) Suma algebraiczna to wyrażenie w którym pomiędzy poszczególnymi jednomianami występują tylko działania oraz
. W wyrażeniu
mamy wprawdzie dodawanie jednomianów
i
, ale jest ono jeszcze podniesione do kwadratu, więc nie jest sumą algebraiczną. A więc, żeby ją otrzymać, musimy wykonać działanie podnoszenia do kwadratu. Zapisujemy więc:
Kiedy mnożymy ze sobą dwa wyrażenia w nawiasach, każdy wyraz mnożymy z każdym. Otrzymujemy:
Wyrażenie jest już sumą algebraiczną (jednomianów
i
).
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Być może zacząłeś się zastanawiać, dlaczego wyrażenia z podpunktów c, f oraz i zostały wyróżnione. Są to właśnie trzy najważniejsze wzory skróconego mnożenia:
Jak sam już sprawdziłeś, są one prawdziwe – wynikają z praw działań, które już znasz. Możemy je również interpretować geometrycznie, tzn. wyobrażać je sobie jako pola figur (kwadratów) na płaszczyźnie.
Zacznijmy od pierwszego z nich. Jak wiesz
to pole kwadratu o boku długości
tak, jak na rysunku:
Aby obliczyć pole takiego kwadratu, możemy sobie każdy bok podzielić na odcinek o długości i odcinek długości
. Poprowadzenie linii podziału przez cały kwadrat dzieli nam go na 4 prostokąty: kwadrat o polu
, kwadrat o polu
i 2 prostokąty, każdy o polu
.
Pole całego (dużego) kwadratu obliczymy dodając te mniejsze pola do siebie i otrzymując .
Jednocześnie wiemy, że pole kwadratu o boku jest równe
, stąd
Tak samo możemy sobie wyobrazić kwadrat o boku
, którego pole jest równe
(zielony obszar na rysunku).
Jego pole można również określić jako cały kwadrat o boku po usunięciu dwóch pomarańczowych prostokątów o wymiarach
i fioletowego kwadratu o boku
.
Pole takiego prostokąta opiszemy jako:
Dlatego też prawdziwa jest równość
Tak samo zaprezentujemy sobie ostatni wzór. Szukamy pola prostokąta o wymiarach.
Zauważmy, że jest to po prostu suma pól pomarańczowego
i czerwonego prostokąta. Po zsumowaniu otrzymujemy:
Jednocześnie wiemy, że pole jest równe, czyli
Wzory skróconego mnożenia pomagają nam w szybko upraszczać pewne wyrażenia.
Ćwiczenie 2:
Zapisz w postaci sum algebraicznych, używając wzorów skróconego mnożenia:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Podpowiedź: W pierwszej kolumnie korzystaj z wzoru, w drugiej
, a w trzeciej
Rozwiązania i odpowiedzi:
a) Będziemy korzystać z wzoru, ponieważ podnosimy do kwadratusumę
oraz
.
Podstawiamy do lewej strony równania i
i otrzymujemy:
b)
c)
d) Korzystamy ze wzoru, ponieważ podnosimy do kwadraturóżnicę
oraz
e)
f)
g) Korzystamy ze wzoru, ponieważ wymnażamy 2 nawiasy, gdzie w jednym z nich jestróżnica
i
, a w drugimsuma
i
.
j) Być może w tym przykładzie nie widzisz na pierwszy rzut oka wzoru skróconego mnożenia, ale pamiętaj, że. W takim razie możemy zapisać to wyrażenie jako
h)
Wzory skróconego mnożenia znajdą też zastosowanie w bardziej skomplikowanych wyrażeniach.
Ćwiczenie 3:
Zapisz wyrażenia w postaci sum algebraicznych, korzystając z wzorów skróconego mnożenia:
a)
b)
c)
Rozwiązania:
a) W tym przykładzie będziemy musieli skorzystać nie z jednego, a aż z dwóch wzorów skróconego mnożenia.
Wyrażenie rozwiniemy ze wzoru
Wyrażenie rozwiniemy ze wzoru
Otrzymaliśmy już sumę algebraiczną, ale trzeba jeszcze uporządkować (zredukować) wyrazy podobne:
b) Wyrażenie rozwiniemy ze wzoru
Wyrażenie rozwiniemy ze wzoru
Redukujemy wyrazy podobne:
c) Wyrażeniai
rozwiniemy ze wzoru
Wyrażenie rozwiniemy ze wzoru
, pamiętając,
że jest równoznaczne z
Na razie wykonywaliśmy operacje rozwijania wyrażeń, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia. Oznacza to, że podane w zadaniu wyrażenie „przypominało” lewą stronę pewnego wzoru, a my rozwijaliśmy je do postaci, która przypominała prawą stronę tego wzoru. Na przykład: „przypomina”
, więc wiedzieliśmy, że będziemy je rozwijać do postaci
,
„przypomina”
więc rozwijaliśmy je do postaci
„przypomina”
więc rozwijaliśmy je do postaci
Zaraz zobaczymy, że umiemy również przeprowadzić odwrotną operację: możemy zwinąć pewne wyrażenia („przypominające” prawą stronę pewnego wzoru skróconego mnożenia) tak, żeby „przypominały” lewą stronę odpowiedniego wzoru. Zobaczmy na kilku przykładach.
Ćwiczenie 4’:
Zwiń wyrażenie do postaci
.
Rozwiązanie:
Wyrażenie „przypomina” nam
. Przy zwijaniu do odpowiedniego wzoru, najistotniejsze będą dla nas wyrazy postaci
oraz
, natomiast
możemy (prawie) zignorować. W tym przypadku:
; we wzorach skróconego mnożenia przyjmujemy umowę, że
i
są dodatnie, więc
więc
.
To już właściwie wszystko, co musieliśmy obliczyć. Podstawiamy i
do wzoru i otrzymujemy
.
Ćwiczenie 4’’:
Zwiń wyrażenie do postaci
.
Rozwiązanie:
Wyrażenie mamy dane w postaci i mamy przekształcić je do
.
Podobnie, jak w tamtym przypadku, istotne będą dla nas tylko wyrazy oraz
.
;
;
. Podstawiamy do wzoru i otrzymujemy
Odpowiedź:
Ćwiczenie 4’’’:
Zwiń wyrażenie do postaci
.
Rozwiązanie:;
;
. Podstawiamy do wzoru i otrzymujemy
Odpowiedź: .
Oczywiście, jesteśmy również w stanie sami „zgadnąć” do jakiego wzoru zwinie się dane wyrażenie – do tego będziemy musieli uwzględnić znak przy wyrazie.
Ćwiczenie 4’’’’:
Zwiń wyrażenia do odpowiednich wzorów skróconego mnożenia; wykonaj sprawdzenie na koniec każdego przykładu:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Rozwiązania:
a) Na początku musimy się zastanowić, do którego wzoru (a dokładniej – do prawej strony) „podobne” jest wyrażenie. Musimy popatrzeć na znak przy wyrazie postaci.
; wyrazem postaci
jest
. Przed nim stoi minus, więc wyrażenie „jest podobne”
do . W takim razie będziemy musieli je zwinąć do postaci
.
Dalej postępujemy jak w ćwiczeniu 4’’’:więc
;
więc
.
Odpowiedź:
Musimy jeszcze wykonać sprawdzenie. Dla wzorów postaci będziemy to robić, podstawiając obliczone wartości
i
do wyrazu postaci
i sprawdzać, czy jest taki, jak w początkowym wyrażeniu. Po podstawieniu
i
do
otrzymujemy
tak, jak w początkowym wyrażeniu
, więc sprawdzenie potwierdziło poprawność rozwiązania
b) Tak jak wcześniej, zaczynamy od ustalenia znaku przy wyrazie postaci. Tutaj wyrazem tym jest
, a przed nim stoi plus– dlatego będziemy korzystać ze wzoru
.
więc
;
więc
.
Odpowiedź:
Sprawdzenie:
c) Pierwsze spojrzenie na ten przykład może nas wprawić w lekką konsternację – gdzie jest wyraz postaci?
Odpowiedź jest prosta: po prostu go nie ma. Wyrażenie jest postaci , a więc zwijać je będziemy do
. Dalej postępujemy tak, jak w poprzednich przykładach:
więc
;
więc
.
Odpowiedź:
Sprawdzenie: Ze względu na brak „widocznego” wyrazu , w takich przykładach wykonujemy sprawdzenie po prostu rozwijając (wymnażając nawiasy) w otrzymanym wyrażeniu:
. Wyrażenie jest takie, jak początkowe, więc wszystko się
zgadza
d) Przy wyrazie postaci jest plus, więc będziemy zwijać do postaci
.
więc
;
więc
.
Odpowiedź:
Sprawdzenie:
e) Wyrażenie jest dwuwyrazowe, więc będziemy zwijać do postaci .
więc
;
więc
.
Odpowiedź:
Sprawdzenie:
f)Przy wyrazie postacijest minus, więc będziemy zwijać do postaci
.
więc
;
więc
.
Odpowiedź:
Sprawdzenie:
Umiejętność zwijania wzorów skróconego mnożenia bardzo poszerza nasze możliwości w zakresie przeprowadzania niektórych dowodów – np. udowadniania, że pewne wyrażenie zawsze jest nieujemne.
Ćwiczenie 5:
Udowodnij, że nierówność jest spełniona dla każdej pary liczb rzeczywistych.
Rozwiązanie:
W zadaniach dowodowych musimy zacząć od uświadomienia sobie, co wiemy, a co mamy dowieść. To co wiemy, to założenia, w tym przypadku:oraz
, ponieważ chcemy, aby nierówność była spełniona dla dowolnych (wszystkich) par
wybranych z całego zbioru liczb rzeczywistych.
Natomiast to, co chcemy dowieść to teza, w tym przypadku.
W tym miejscu powinniśmy zauważyć, że wyrażenie po lewej stronie nierówności to rozwinięta postać wzoru skróconego mnożenia, którą możemy zwinąć do postaci.
więc
;
więc
Po tym przekształceniu nierówność ma postać i to już jest właściwie koniec zadania.
Zauważ, że podniesienie do kwadratu jakiejkolwiek liczby rzeczywistej daje w wyniku liczbę nieujemną. Dlatego nieważne, jaka będzie wartość ,
zawsze będzie większe lub równe 0, co kończy dowód.
Ćwiczenie 5’:
Udowodnij, że nierównośćjest spełniona dla każdej pary liczb rzeczywistych.
Rozwiązanie:
Podobnie, jak wcześniej, zaczynamy od wypisania założeń i tezy:
Założenia: oraz
, teza:
.
Tak, jak w tamtym zadaniu, spróbujemy tak przekształcić tezę, aby móc „gołym okiem” zobaczyć, że jest prawdziwa.
Dobrym nawykiem w takich zadaniach jest zaczęcie od przeniesienia wszystkich wyrazów na jedną stronę nierówności. Przenosimy na lewą stronę i otrzymujemy
.
Następny krok wymaga trochę wprawy w „widzeniu” wzorów skróconego mnożenia, której z czasem nabierzesz :). Zauważ, że to nie jest wzór skróconego mnożenia. Dobrze widzieć to na pierwszy rzut oka, ale można też spróbować go zwinąć, a na etapie sprawdzenia odkryć, że się nie da. Gdybyśmy chcieli postępować, tak, jak w ćwiczeniu 4’’’, zapisalibyśmy:
więc
;
więc
. Następnie wykonalibyśmy sprawdzenie
, więc tego wyrażenia nie da się zwinąć.
Za to to jest wzór skróconego mnożenia, który możemy zwinąć do
. Dlatego zapisujemy nierówność jako
. Pokolorowaną część wyrażenia zwijamy i otrzymujemy nierówność:
. I to już właściwie koniec zadania. Wiemy, że niezależnie od wartości
i
zawsze
oraz
, a suma wyrażeń nieujemnych też musi być nieujemna, więc
; co kończy dowód.
Mam nadzieję, że zadania dowodowe za bardzo cię nie „przestraszyły”. Teraz rozwiążemy łatwiejsze ćwiczenie pokazujące, jak wzory skróconego mnożenia pozwalają nam przyspieszyć obliczenia na pierwiastkach (chociaż o tym, dlaczego jest to istotne, dowiesz się chwilę później).
Ćwiczenie 6:
Oblicz wartość wyrażeń i określ, czy wynik jest liczbą wymierną, czy niewymierną:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Rozwiązania i odpowiedzi:
a); liczba niewymierna
b); liczba niewymierna
c); liczba niewymierna
d);
liczba niewymierna
e); liczba wymierna
f); liczba wymierna
Być może w szkole podstawowej spotkałeś się już z operacją usuwania niewymierności z mianownika. Należało ją przeprowadzić np. dla ułamka, bo mianownikiem ułamka jest liczba niewymierna
.
Zauważmy, że wartość ułamka (właściwie każdej liczby) nie zmieni się, gdy pomnożymy ją przez 1. Z kolei każdy ułamek postaci (gdzie licznik i mianownik są takie same). Dlatego też:
. Wyrażenie nie zmieniło wartości, bo mnożyliśmy przez 1, a w mianowniku jest liczba wymierna. W takim razie udało nam się usunąć niewymierność z mianownika, mnożąc wyrażenie przez ułamek, który w liczniku i w mianowniku ma liczbę niewymierną, którą chcieliśmy usunąć. Przećwiczmy to jeszcze na trzech króciutkich przykładach, a potem zdradzę ci, co mają do tego wzory skróconego mnożenia :).
Ćwiczenie 7:
Usuń niewymierność z mianownika:
a)
b)
c)
Rozwiązania:
a)
b)
c)
Czasami chcielibyśmy usunąć niewymierność z wyrażenia, które w mianowniku ma sumę lub różnicę liczby wymiernej i niewymiernej, np.. Wróć na chwilę do ćwiczenia 3 – w których przykładach otrzymaliśmy wyrażenia wymierne? Z którego wzoru w nich korzystaliśmy?
Wymierne wyniki otrzymaliśmy w przykładach e) i f), czyli tam, gdzie używaliśmy wzoru.
Dlatego właśnie jego będziemy używać w takich przykładach.takie mnożenie nie zmieni wartości wydarzenia, a w mianowniku otrzymamy pożądany wzór skróconego mnożenia. Rozwiązując dalej otrzymujemy:
. Mianownik jest równy 1 – udało się :).
Ćwiczenie 6’:
Usuń niewymierność z mianownika i doprowadź wyrażenie do najprostszej postaci:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Rozwiązania:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Dodatek dla rozszerzenia: inne wzory skróconego mnożenia
O ile na poziomie podstawowym niezbędne są jedynie 3 podstawowe wzory skróconego mnożenia, tak na rozszerzeniu mogą się przydać również inne.
Ćwiczenie 7:
Zapisz wyrażenia w postaci algebraicznej (jako działania), po czym przekształć je do postaci sumy algebraicznej.
a)Sześcian sumy liczb i
b)Sześcian różnicy liczb i
c)Kwadrat sumy liczb ,
i
Rozwiązania i odpowiedzi:
a)Sześcian sumy liczb i
to
. Dalej przekształcamy tak, żeby uzyskać sumę algebraiczną:
b)
c)
Warto, żebyś potrafił je zauważać i zwijać.
Ćwiczenie 8:
Zwiń wyrażenia do odpowiednich wzorów skróconego mnożenia; wykonaj sprawdzenia:
a)
b)
Rozwiązania i odpowiedzi:
a)Postępować będziemy podobnie, jak w ćwiczeniu 4’’’’, czyli zwracać uwagę na pierwszy i ostatni wyraz, po czym wykonamy sprawdzenie na wyrazach środkowych.;
. Wyrażenie jest postaci
, więc zwiniemy je do
.
Odpowiedź:
Sprawdzenie: ;
b)Odpowiedź:
Sprawdzenie:;
Ćwiczenie 9:
Zapisz wyrażenia w postaci sumy algebraicznej. Wyraź słownie otrzymane wyrażenie.
a)
b)
Odpowiedzi:
a); suma sześcianów liczb
i
b); różnica sześcianów liczb
i
Wyróżnione wyrażenia to właśnie pięć dodatkowych wzorów skróconego mnożenia. Nie będziemy korzystać z nich aż tak często, jak z tych, które poznaliśmy wcześniej, ale zdecydowanie warto je znać.
Te, które poznaliśmy w ćwiczeniu 9, przydają się do usuwania niewymierności z mianownika, kiedy jest ona pierwiastkiem stopnia 3.
Ćwiczenie 10
Usuń niewymierności z mianownika.
a)
b)
c)
Rozwiązania:
a)Postępować będziemy podobnie, jak w ćwiczeniu 6’ – czyli szukamy odpowiedniego ułamka o jednakowym liczniku i mianowniku. Zauważ, że mianownik jest postaci
. Czyli wymnożenie go przez wyrażenie postaci
da nam
, które na pewno będzie liczbą wymierną.
W tym przypadku i
, więc
. Zapiszmy właściwe obliczenia:
b)Tym razem mianownik jest postaci, więc skorzystamy z wzoru
.
; właściwe obliczenia:
c)Zauważmy, że mianownik jest postaci, więc skorzystamy ze wzoru
.
i
; zapisujemy:
2. Pewniaki maturalne
Najbardziej typowym zadaniem otwartym na maturze podstawowej, w którym właściwie niezbędna jest znajomość wzorów skróconego mnożenia, jest dowód algebraiczny. W formule 2015-2022 ten typ zadania pojawiał się w prawie każdym arkuszu i zwykle wymagał zastosowania jednego z dwóch wzorów lub
.
(Wskazówka: wzór w takich zadaniach jest mało użyteczny, bo nie gwarantuje nam, że wyrażenie tej postaci jest nieujemne. Dlatego szukaj raczej
lub
)
(Wskazówka nr 2: pamiętaj, że dowód musi być dokończony sformułowaniem „co kończy dowód” lub innym, które jednoznacznie wskazuje, że wiesz, że udało ci się udowodnić to, co miało zostać udowodnione; bez tego nie otrzymasz pełnej ilości punktów za zadanie!)
1Matura poprawkowa CKE, wrzesień 2020
Rozwiązanie:
Zaczynamy od przeniesienia wszystkich wyrazów na lewą stronę:
Dalej upraszczamy wyrażenie tak, by otrzymać uporządkowaną sumę algebraiczną:
To wyrażenie możemy już zwinąć do wzoru skróconego mnożenia:
Bez wątpienia cokolwiek podniesiemy do kwadratu, otrzymamy liczbę nieujemną. Dodatkowo wiemy, że, więc
. W takim razie
, co kończy dowód.
Czasami wzory skróconego mnożenia przydają się również w zadaniach zamkniętych. Nie ma tam obowiązku, żeby je użyć (sprawdzający nie odejmie punktów, jeśli zrobisz je inną metodą), ale mogą znacznie przyspieszyć rozwiązanie.
2 Matura CKE, czerwiec 2020
Rozwiązanie 1:
Możemy rozwiązać to zadanie zupełnie nie znając wzorów skróconego mnożenia – po prostu podstawimy do wyrażenia
i będziemy je upraszczać:
Odpowiedź: B
Rozwiązanie 2:
Możemy też od razu zauważyć, że wyrażenie możemy zwinąć do postaci
. Do zwiniętej postaci podstawiamy
i otrzymujemy:
Odpowiedź: B
Obydwa rozwiązania są poprawne, jednak pierwsze jest obciążone większym ryzykiem zrobienia „głupiego błędu” w trakcie obliczeń – dlatego warto zauważać wzory skróconego mnożenia 🙂
Dodatek dla rozszerzenia: trudniejsze dowody algebraiczne
Na maturze rozszerzonej też zdarzają się dowody algebraiczne wymagające wykorzystywania wzorów skróconego mnożenia. Są one jednak bardziej rozbudowane, niż te w arkuszach podstawowych.
3 Matura CKE, maj 2019
Rozwiązanie:
Zacznijmy od wypisania założeń i określenia tezy.
Założenia:oraz
Teza:
W tym dowodzie (tak, jak wcześniej) będziemy próbowali tak przekształcić tezę, żeby okazało się, że dla podanych założeń jest ona tożsamością (jest prawdziwa, nieważne jakie liczby wybierzemy o ile spełniają założenia).
przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę
sprowadzamy je do wspólnego mianownika i zapisujemy na jednej kresce ułamkowej
wymnażamy nawiasy w liczniku
Oto newralgiczny punkt tego zadania: zauważ, że wyrazy,
i
da się zwinąć do wzoru skróconego mnożenia
zwijamy wzór oraz redukujemy wyrazy
.
wyciągnęliśmy
przed nawias.
To koniec przekształcania – w tym momencie powinniśmy zauważyć, że otrzymaliśmy tożsamość. Wystarczy tylko dopisać do tego stosowny komentarze:
(1) Mianownik na pewno jest dodatni, bo
i
, więc
i
więc
.
(2) Kwadrat różnicy jest nieujemny, a dodatkowo
(bo
), więc
.
(3)oraz
, więc
, czyli
.
Z (2) i (3) wynika, że licznik; jeżeli licznik i mianownik są liczbami dodatnimi, to całe wyrażenie również jest dodatnie co kończy dowód.
3. Podsumowanie wiadomości
W powyższym rozdziale poznaliśmy 8 wzorów skróconego mnożenia. Trzy najważniejsze i najczęściej używane, to:
Kwadrat sumy dwóch wyrazów:
Kwadrat różnicy dwóch wyrazów:
Iloczyn sumy i różnicy (różnica kwadratów):
Aby usunąć niewymierność z mianownika, często przydaje się wzór:
Jeśli jest liczbą niewymierną, ułamek postaci
mnożymy razy
i otrzymujemy
Jeśli jest liczbą niewymierną, ułamek postaci
mnożymy razy
i otrzymujemy
Warto – szczególnie pisząc maturę rozszerzoną – znać również:
Sześcian sumy dwóch wyrazów:
Sześcian różnicy dwóch wyrazów:
Kwadrat sumy trzech wyrazów:
Suma sześcianów liczb dwóch wyrazów:
Różnica sześcianów dwóch wyrazów: