Wzory skróconego mnożenia

Wzory skróconego mnożenia
Kwadrat sumy, kwadrat różnicy, iloczyn sumy i różnicy (różnica kwadratów)
Usuwanie niewymierności z mianownika
Zwijanie wzorów skróconego mnożenia
Dowody z użyciem wzorów skróconego mnożenia
Inne wzory skróconego mnożenia (sześcian sumy, sześcian różnicy, suma sześcianów, różnica sześcianów, kwadrat sumy trzech wyrazów)
Pewniaki maturalne – podstawa
Obliczanie wartości wyrażenia algebraicznego
Dowody algebraiczne
Dowody algebraiczne dla rozszerzenia
Podsumowanie wiadomości

1. Podstawowe wzory skróconego mnożenia
Omawianie tego tematu, zaczniemy od krótkiego ćwiczenia:

Ćwiczenie 1:
Przedstaw wyrażenia w postaci sumy algebraicznej:

a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)

Rozwiązania i odpowiedzi:
a) Suma algebraiczna to wyrażenie w którym pomiędzy poszczególnymi jednomianami występują tylko działania oraz . W wyrażeniu mamy wprawdzie dodawanie jednomianów i , ale jest ono jeszcze podniesione do kwadratu, więc nie jest sumą algebraiczną. A więc, żeby ją otrzymać, musimy wykonać działanie podnoszenia do kwadratu. Zapisujemy więc:

Kiedy mnożymy ze sobą dwa wyrażenia w nawiasach, każdy wyraz mnożymy z każdym. Otrzymujemy:

Wyrażenie jest już sumą algebraiczną (jednomianów i).
b)
c)
d)

e)
f)
g)
h)
i)

Być może zacząłeś się zastanawiać, dlaczego wyrażenia z podpunktów c, f oraz i zostały wyróżnione. Są to właśnie trzy najważniejsze wzory skróconego mnożenia:



Jak sam już sprawdziłeś, są one prawdziwe – wynikają z praw działań, które już znasz. Możemy je również interpretować geometrycznie, tzn. wyobrażać je sobie jako pola figur (kwadratów) na płaszczyźnie.

Zacznijmy od pierwszego z nich. Jak wieszto pole kwadratu o boku długościtak, jak na rysunku:

Aby obliczyć pole takiego kwadratu, możemy sobie każdy bok podzielić na odcinek o długości i odcinek długości . Poprowadzenie linii podziału przez cały kwadrat dzieli nam go na 4 prostokąty: kwadrat o polu, kwadrat o polu i 2 prostokąty, każdy o polu .
Pole całego (dużego) kwadratu obliczymy dodając te mniejsze pola do siebie i otrzymując .
Jednocześnie wiemy, że pole kwadratu o boku jest równe , stąd

Tak samo możemy sobie wyobrazić kwadrat o boku, którego pole jest równe(zielony obszar na rysunku).

Jego pole można również określić jako cały kwadrat o boku po usunięciu dwóch pomarańczowych prostokątów o wymiarach i fioletowego kwadratu o boku .
Pole takiego prostokąta opiszemy jako:

Dlatego też prawdziwa jest równość

Tak samo zaprezentujemy sobie ostatni wzór. Szukamy pola prostokąta o wymiarach.

Zauważmy, że jest to po prostu suma pól pomarańczowego
i czerwonego prostokąta. Po zsumowaniu otrzymujemy:

Jednocześnie wiemy, że pole jest równe, czyli

Wzory skróconego mnożenia pomagają nam w szybko upraszczać pewne wyrażenia.

Ćwiczenie 2:
Zapisz w postaci sum algebraicznych, używając wzorów skróconego mnożenia:

a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)

Podpowiedź: W pierwszej kolumnie korzystaj z wzoru, w drugiej , a w trzeciej
Rozwiązania i odpowiedzi:

a) Będziemy korzystać z wzoru, ponieważ podnosimy do kwadratusumę oraz .
Podstawiamy do lewej strony równania i i otrzymujemy:

b)
c)
d) Korzystamy ze wzoru, ponieważ podnosimy do kwadraturóżnicęoraz

e)
f)
g) Korzystamy ze wzoru, ponieważ wymnażamy 2 nawiasy, gdzie w jednym z nich jestróżnicai, a w drugimsumai.

j) Być może w tym przykładzie nie widzisz na pierwszy rzut oka wzoru skróconego mnożenia, ale pamiętaj, że. W takim razie możemy zapisać to wyrażenie jako
h)

Wzory skróconego mnożenia znajdą też zastosowanie w bardziej skomplikowanych wyrażeniach.

Ćwiczenie 3:
Zapisz wyrażenia w postaci sum algebraicznych, korzystając z wzorów skróconego mnożenia:

a)
b)
c)

Rozwiązania:
a) W tym przykładzie będziemy musieli skorzystać nie z jednego, a aż z dwóch wzorów skróconego mnożenia.
Wyrażenie rozwiniemy ze wzoru
Wyrażenie rozwiniemy ze wzoru

Otrzymaliśmy już sumę algebraiczną, ale trzeba jeszcze uporządkować (zredukować) wyrazy podobne:

b) Wyrażenie rozwiniemy ze wzoru
Wyrażenie rozwiniemy ze wzoru

Redukujemy wyrazy podobne:

c) Wyrażeniai rozwiniemy ze wzoru
Wyrażenie rozwiniemy ze wzoru , pamiętając,
że jest równoznaczne z

Na razie wykonywaliśmy operacje rozwijania wyrażeń, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia. Oznacza to, że podane w zadaniu wyrażenie „przypominało” lewą stronę pewnego wzoru, a my rozwijaliśmy je do postaci, która przypominała prawą stronę tego wzoru. Na przykład:
„przypomina” , więc wiedzieliśmy, że będziemy je rozwijać do postaci ,
„przypomina” więc rozwijaliśmy je do postaci
„przypomina” więc rozwijaliśmy je do postaci
Zaraz zobaczymy, że umiemy również przeprowadzić odwrotną operację: możemy zwinąć pewne wyrażenia („przypominające” prawą stronę pewnego wzoru skróconego mnożenia) tak, żeby „przypominały” lewą stronę odpowiedniego wzoru. Zobaczmy na kilku przykładach.
Ćwiczenie 4’:
Zwiń wyrażenie do postaci.
Rozwiązanie:
Wyrażenie „przypomina” nam . Przy zwijaniu do odpowiedniego wzoru, najistotniejsze będą dla nas wyrazy postaci oraz , natomiast możemy (prawie) zignorować. W tym przypadku:
; we wzorach skróconego mnożenia przyjmujemy umowę, żeisą dodatnie, więc
więc.
To już właściwie wszystko, co musieliśmy obliczyć. Podstawiamy i do wzoru i otrzymujemy .

Ćwiczenie 4’’:
Zwiń wyrażenie do postaci .
Rozwiązanie:
Wyrażenie mamy dane w postaci i mamy przekształcić je do .
Podobnie, jak w tamtym przypadku, istotne będą dla nas tylko wyrazy oraz .
;
;. Podstawiamy do wzoru i otrzymujemy
Odpowiedź:

Ćwiczenie 4’’’:

Zwiń wyrażenie do postaci .
Rozwiązanie:
;
;. Podstawiamy do wzoru i otrzymujemy
Odpowiedź: .

Oczywiście, jesteśmy również w stanie sami „zgadnąć” do jakiego wzoru zwinie się dane wyrażenie – do tego będziemy musieli uwzględnić znak przy wyrazie.

Ćwiczenie 4’’’’:
Zwiń wyrażenia do odpowiednich wzorów skróconego mnożenia; wykonaj sprawdzenie na koniec każdego przykładu:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Rozwiązania:
a) Na początku musimy się zastanowić, do którego wzoru (a dokładniej – do prawej strony) „podobne” jest wyrażenie. Musimy popatrzeć na znak przy wyrazie postaci.
; wyrazem postaci jest . Przed nim stoi minus, więc wyrażenie „jest podobne”
do . W takim razie będziemy musieli je zwinąć do postaci .
Dalej postępujemy jak w ćwiczeniu 4’’’:
więc;więc.
Odpowiedź:
Musimy jeszcze wykonać sprawdzenie. Dla wzorów postaci będziemy to robić, podstawiając obliczone wartości i do wyrazu postaci i sprawdzać, czy jest taki, jak w początkowym wyrażeniu. Po podstawieniu i do otrzymujemy tak, jak w początkowym wyrażeniu, więc sprawdzenie potwierdziło poprawność rozwiązania
b) Tak jak wcześniej, zaczynamy od ustalenia znaku przy wyrazie postaci. Tutaj wyrazem tym jest, a przed nim stoi plus– dlatego będziemy korzystać ze wzoru.
więc;więc.
Odpowiedź:
Sprawdzenie:
c) Pierwsze spojrzenie na ten przykład może nas wprawić w lekką konsternację – gdzie jest wyraz postaci?
Odpowiedź jest prosta: po prostu go nie ma. Wyrażenie jest postaci , a więc zwijać je będziemy do
. Dalej postępujemy tak, jak w poprzednich przykładach:
więc;więc.
Odpowiedź:
Sprawdzenie: Ze względu na brak „widocznego” wyrazu , w takich przykładach wykonujemy sprawdzenie po prostu rozwijając (wymnażając nawiasy) w otrzymanym wyrażeniu:
. Wyrażenie jest takie, jak początkowe, więc wszystko się
zgadza
d) Przy wyrazie postaci jest plus, więc będziemy zwijać do postaci .
więc ; więc .
Odpowiedź:
Sprawdzenie:
e) Wyrażenie jest dwuwyrazowe, więc będziemy zwijać do postaci .
więc ;więc.
Odpowiedź:
Sprawdzenie:
f)Przy wyrazie postacijest minus, więc będziemy zwijać do postaci .
więc ; więc .
Odpowiedź:
Sprawdzenie:

Umiejętność zwijania wzorów skróconego mnożenia bardzo poszerza nasze możliwości w zakresie przeprowadzania niektórych dowodów – np. udowadniania, że pewne wyrażenie zawsze jest nieujemne.

Ćwiczenie 5:
Udowodnij, że nierówność jest spełniona dla każdej pary liczb rzeczywistych.
Rozwiązanie:
W zadaniach dowodowych musimy zacząć od uświadomienia sobie, co wiemy, a co mamy dowieść. To co wiemy, to założenia, w tym przypadku:oraz, ponieważ chcemy, aby nierówność była spełniona dla dowolnych (wszystkich) par wybranych z całego zbioru liczb rzeczywistych.
Natomiast to, co chcemy dowieść to teza, w tym przypadku.
W tym miejscu powinniśmy zauważyć, że wyrażenie po lewej stronie nierówności to rozwinięta postać wzoru skróconego mnożenia, którą możemy zwinąć do postaci.
więc;więc
Po tym przekształceniu nierówność ma postać i to już jest właściwie koniec zadania.
Zauważ, że podniesienie do kwadratu jakiejkolwiek liczby rzeczywistej daje w wyniku liczbę nieujemną. Dlatego nieważne, jaka będzie wartość ,zawsze będzie większe lub równe 0, co kończy dowód.

Ćwiczenie 5’:
Udowodnij, że nierównośćjest spełniona dla każdej pary liczb rzeczywistych.
Rozwiązanie:
Podobnie, jak wcześniej, zaczynamy od wypisania założeń i tezy:
Założenia: oraz, teza: .
Tak, jak w tamtym zadaniu, spróbujemy tak przekształcić tezę, aby móc „gołym okiem” zobaczyć, że jest prawdziwa.
Dobrym nawykiem w takich zadaniach jest zaczęcie od przeniesienia wszystkich wyrazów na jedną stronę nierówności. Przenosimy na lewą stronę i otrzymujemy.
Następny krok wymaga trochę wprawy w „widzeniu” wzorów skróconego mnożenia, której z czasem nabierzesz :). Zauważ, że to nie jest wzór skróconego mnożenia. Dobrze widzieć to na pierwszy rzut oka, ale można też spróbować go zwinąć, a na etapie sprawdzenia odkryć, że się nie da. Gdybyśmy chcieli postępować, tak, jak w ćwiczeniu 4’’’, zapisalibyśmy: więc ;więc. Następnie wykonalibyśmy sprawdzenie, więc tego wyrażenia nie da się zwinąć.
Za to to jest wzór skróconego mnożenia, który możemy zwinąć do. Dlatego zapisujemy nierówność jako. Pokolorowaną część wyrażenia zwijamy i otrzymujemy nierówność:
. I to już właściwie koniec zadania. Wiemy, że niezależnie od wartości i zawsze oraz , a suma wyrażeń nieujemnych też musi być nieujemna, więc ; co kończy dowód.
Mam nadzieję, że zadania dowodowe za bardzo cię nie „przestraszyły”. Teraz rozwiążemy łatwiejsze ćwiczenie pokazujące, jak wzory skróconego mnożenia pozwalają nam przyspieszyć obliczenia na pierwiastkach (chociaż o tym, dlaczego jest to istotne, dowiesz się chwilę później).

Ćwiczenie 6:
Oblicz wartość wyrażeń i określ, czy wynik jest liczbą wymierną, czy niewymierną:

a)
b)
c)
d)
e)
f)

Rozwiązania i odpowiedzi:
a); liczba niewymierna
b); liczba niewymierna
c); liczba niewymierna
d);
liczba niewymierna
e); liczba wymierna
f); liczba wymierna
Być może w szkole podstawowej spotkałeś się już z operacją usuwania niewymierności z mianownika. Należało ją przeprowadzić np. dla ułamka, bo mianownikiem ułamka jest liczba niewymierna.
Zauważmy, że wartość ułamka (właściwie każdej liczby) nie zmieni się, gdy pomnożymy ją przez 1. Z kolei każdy ułamek postaci (gdzie licznik i mianownik są takie same). Dlatego też:
. Wyrażenie nie zmieniło wartości, bo mnożyliśmy przez 1, a w mianowniku jest liczba wymierna. W takim razie udało nam się usunąć niewymierność z mianownika, mnożąc wyrażenie przez ułamek, który w liczniku i w mianowniku ma liczbę niewymierną, którą chcieliśmy usunąć. Przećwiczmy to jeszcze na trzech króciutkich przykładach, a potem zdradzę ci, co mają do tego wzory skróconego mnożenia :).

Ćwiczenie 7:
Usuń niewymierność z mianownika:

a)
b)
c)

Rozwiązania:

a)
b)
c)

Czasami chcielibyśmy usunąć niewymierność z wyrażenia, które w mianowniku ma sumę lub różnicę liczby wymiernej i niewymiernej, np.. Wróć na chwilę do ćwiczenia 3 – w których przykładach otrzymaliśmy wyrażenia wymierne? Z którego wzoru w nich korzystaliśmy?
Wymierne wyniki otrzymaliśmy w przykładach e) i f), czyli tam, gdzie używaliśmy wzoru.
Dlatego właśnie jego będziemy używać w takich przykładach.
takie mnożenie nie zmieni wartości wydarzenia, a w mianowniku otrzymamy pożądany wzór skróconego mnożenia. Rozwiązując dalej otrzymujemy:
. Mianownik jest równy 1 – udało się :).

Ćwiczenie 6’:
Usuń niewymierność z mianownika i doprowadź wyrażenie do najprostszej postaci:

a)
b)
c)
d)
e)
f)

Rozwiązania:
a)
b)
c)
d)
e)
f)

Dodatek dla rozszerzenia: inne wzory skróconego mnożenia
O ile na poziomie podstawowym niezbędne są jedynie 3 podstawowe wzory skróconego mnożenia, tak na rozszerzeniu mogą się przydać również inne.

Ćwiczenie 7:
Zapisz wyrażenia w postaci algebraicznej (jako działania), po czym przekształć je do postaci sumy algebraicznej.
a)Sześcian sumy liczb i
b)Sześcian różnicy liczb i
c)Kwadrat sumy liczb , i
Rozwiązania i odpowiedzi:
a)Sześcian sumy liczb i to . Dalej przekształcamy tak, żeby uzyskać sumę algebraiczną:


b)
c)

Warto, żebyś potrafił je zauważać i zwijać.

Ćwiczenie 8:
Zwiń wyrażenia do odpowiednich wzorów skróconego mnożenia; wykonaj sprawdzenia:
a)
b)
Rozwiązania i odpowiedzi:
a)Postępować będziemy podobnie, jak w ćwiczeniu 4’’’’, czyli zwracać uwagę na pierwszy i ostatni wyraz, po czym wykonamy sprawdzenie na wyrazach środkowych.;. Wyrażenie jest postaci, więc zwiniemy je do .
Odpowiedź:
Sprawdzenie: ;
b)Odpowiedź:
Sprawdzenie:;

Ćwiczenie 9:
Zapisz wyrażenia w postaci sumy algebraicznej. Wyraź słownie otrzymane wyrażenie.
a)
b)
Odpowiedzi:
a); suma sześcianów liczb i
b); różnica sześcianów liczb i
Wyróżnione wyrażenia to właśnie pięć dodatkowych wzorów skróconego mnożenia. Nie będziemy korzystać z nich aż tak często, jak z tych, które poznaliśmy wcześniej, ale zdecydowanie warto je znać.
Te, które poznaliśmy w ćwiczeniu 9, przydają się do usuwania niewymierności z mianownika, kiedy jest ona pierwiastkiem stopnia 3.

Ćwiczenie 10
Usuń niewymierności z mianownika.

a)
b)
c)

Rozwiązania:
a)Postępować będziemy podobnie, jak w ćwiczeniu 6’ – czyli szukamy odpowiedniego ułamka o jednakowym liczniku i mianowniku. Zauważ, że mianownik jest postaci . Czyli wymnożenie go przez wyrażenie postaci da nam , które na pewno będzie liczbą wymierną.
W tym przypadku i, więc . Zapiszmy właściwe obliczenia:

b)Tym razem mianownik jest postaci, więc skorzystamy z wzoru.
; właściwe obliczenia:

c)Zauważmy, że mianownik jest postaci, więc skorzystamy ze wzoru
.i; zapisujemy:


2. Pewniaki maturalne
Najbardziej typowym zadaniem otwartym na maturze podstawowej, w którym właściwie niezbędna jest znajomość wzorów skróconego mnożenia, jest dowód algebraiczny. W formule 2015-2022 ten typ zadania pojawiał się w prawie każdym arkuszu i zwykle wymagał zastosowania jednego z dwóch wzorów lub .
(Wskazówka: wzór w takich zadaniach jest mało użyteczny, bo nie gwarantuje nam, że wyrażenie tej postaci jest nieujemne. Dlatego szukaj raczej lub )
(Wskazówka nr 2: pamiętaj, że dowód musi być dokończony sformułowaniem „co kończy dowód” lub innym, które jednoznacznie wskazuje, że wiesz, że udało ci się udowodnić to, co miało zostać udowodnione; bez tego nie otrzymasz pełnej ilości punktów za zadanie!)

1Matura poprawkowa CKE, wrzesień 2020
Rozwiązanie:
Zaczynamy od przeniesienia wszystkich wyrazów na lewą stronę:

Dalej upraszczamy wyrażenie tak, by otrzymać uporządkowaną sumę algebraiczną:


To wyrażenie możemy już zwinąć do wzoru skróconego mnożenia:

Bez wątpienia cokolwiek podniesiemy do kwadratu, otrzymamy liczbę nieujemną. Dodatkowo wiemy, że, więc
. W takim razie, co kończy dowód.

Czasami wzory skróconego mnożenia przydają się również w zadaniach zamkniętych. Nie ma tam obowiązku, żeby je użyć (sprawdzający nie odejmie punktów, jeśli zrobisz je inną metodą), ale mogą znacznie przyspieszyć rozwiązanie.

2 Matura CKE, czerwiec 2020
Rozwiązanie 1:
Możemy rozwiązać to zadanie zupełnie nie znając wzorów skróconego mnożenia – po prostu podstawimy do wyrażenia i będziemy je upraszczać:

Odpowiedź: B
Rozwiązanie 2:
Możemy też od razu zauważyć, że wyrażenie możemy zwinąć do postaci. Do zwiniętej postaci podstawiamy i otrzymujemy:
Odpowiedź: B
Obydwa rozwiązania są poprawne, jednak pierwsze jest obciążone większym ryzykiem zrobienia „głupiego błędu” w trakcie obliczeń – dlatego warto zauważać wzory skróconego mnożenia 🙂

Dodatek dla rozszerzenia: trudniejsze dowody algebraiczne
Na maturze rozszerzonej też zdarzają się dowody algebraiczne wymagające wykorzystywania wzorów skróconego mnożenia. Są one jednak bardziej rozbudowane, niż te w arkuszach podstawowych.

3 Matura CKE, maj 2019
Rozwiązanie:
Zacznijmy od wypisania założeń i określenia tezy.
Założenia:oraz
Teza:
W tym dowodzie (tak, jak wcześniej) będziemy próbowali tak przekształcić tezę, żeby okazało się, że dla podanych założeń jest ona tożsamością (jest prawdziwa, nieważne jakie liczby wybierzemy o ile spełniają założenia).
przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę
sprowadzamy je do wspólnego mianownika i zapisujemy na jednej kresce ułamkowej
wymnażamy nawiasy w liczniku
Oto newralgiczny punkt tego zadania: zauważ, że wyrazy, i da się zwinąć do wzoru skróconego mnożenia
zwijamy wzór oraz redukujemy wyrazy.
wyciągnęliśmy przed nawias.
To koniec przekształcania – w tym momencie powinniśmy zauważyć, że otrzymaliśmy tożsamość. Wystarczy tylko dopisać do tego stosowny komentarze:
(1) Mianownik na pewno jest dodatni, bo i , więc i więc .
(2) Kwadrat różnicy jest nieujemny, a dodatkowo(bo), więc.
(3)oraz, więc, czyli.
Z (2) i (3) wynika, że licznik; jeżeli licznik i mianownik są liczbami dodatnimi, to całe wyrażenie również jest dodatnie co kończy dowód.

3. Podsumowanie wiadomości
W powyższym rozdziale poznaliśmy 8 wzorów skróconego mnożenia. Trzy najważniejsze i najczęściej używane, to:
Kwadrat sumy dwóch wyrazów:
Kwadrat różnicy dwóch wyrazów:
Iloczyn sumy i różnicy (różnica kwadratów):

Aby usunąć niewymierność z mianownika, często przydaje się wzór:
Jeśli jest liczbą niewymierną, ułamek postaci mnożymy razy i otrzymujemy
Jeśli jest liczbą niewymierną, ułamek postaci mnożymy razy i otrzymujemy

Warto – szczególnie pisząc maturę rozszerzoną – znać również:
Sześcian sumy dwóch wyrazów:
Sześcian różnicy dwóch wyrazów:
Kwadrat sumy trzech wyrazów:
Suma sześcianów liczb dwóch wyrazów:
Różnica sześcianów dwóch wyrazów: