Wzory Vieta

Francois Viete był francuskim matematykiem. Zajmował się głównie trygonometrią i algebrą. Stworzył wzory algebraiczne, które pozwalały rozwiązać równania kwadratowe. Te wzory nazywane są wzorami Viete’a.

Francois Viete

W zadaniach poniżej wielokrotnie będzie występowała Δ (czyt. delta). Wzór na deltę to

Twierdzenie

Dana jest funkcja kwadratowa:
,

Miejscami zerowymi tej funkcji są .

Dowód twierdzenia:

PRZYKŁADOWE ZASTOSOWANIA WZORÓW VIETE’A:
1) Do identyfikacji znaków miejsc zerowych funkcji kwadratowej.

– wzór ogólny funkcji kwadratowej

a ≠ 0 Δ > 0

a) są takiego samego znaku = > 0

tak jest, ponieważ jeżeli mnożymy przez siebie liczbę dodatnią przez dodatnią albo liczbę ujemną przez ujemną to zawsze otrzymujemy liczbę większą od 0.

b) nie są takiego samego znaku = < 0 tak się dzieje, ponieważ jeżeli podczas mnożenia dwóch miejsc zerowych otrzymamy liczbę ujemną to zawsze jedno z miejsc zerowych jest dodatnie, a drugi ujemne.

) oba miejsca zerowe są dodatnie

> 0 > 0

> 0 > 0

w tym przypadku miejsca zerowe nie mogą być jednocześnie ujemne, ponieważ po dodaniu do siebie miejsc zerowych otrzymamy liczbę dodatnią, a więc oba miejsca zerowe są dodatnie.

) oba miejsca zerowe są ujemne

> 0 > 0

< 0 < 0 w ww. przykładzie miejsca zerowe nie są równocześnie dodatnie, bo zawsze suma dwóch dodatnich składników jest dodatnia, a nie ujemna.

2) Do ustalania znaków współczynników we wzorze funkcji kwadratowej znając znaki miejsc zerowych

Ustalimy znaki współczynników we wzorze funkcji . Wiemy, że wykres funkcji przecina oś OY w punkcie (0,2) i podana funkcja ma dwa ujemne miejsca zerowe.

Funkcja ma 2 miejsca zerowe .
< 0, < 0 Wobec tego:
> 0 > 0

< 0 < 0 Wykres funkcji przecina oś OY w punkcie (0,2). f(0) = 2, c = 2 c = 2, ponieważ:
2 =
2 = c
c = 2
więc c > 0

c > 0 > 0 a > 0
współczynnik a jest dodatni

< 0 > 0

a > 0 > 0 b > 0
współczynnik b również jest większy od 0

Odp. W podanym wzorze funkcji a > 0, b > 0, c > 0.

3) Do układania równań kwadratowych lub posiadając jakąś wiedzę o pierwiastkach równania

Przykład:
Suma pierwiastków równa się 5, a iloczyn równa się 3. Znajdź dowolne równanie kwadratowe, które spełnia ten warunek.

= = 5
= = 3

= 5
= -5
b = -5a

= 3
c = 3a

Równanie kwadratowe ma następującą postać:
= 0
= 0

a jest dowolną liczbą rzeczywistą różną od 0, ponieważ musimy znaleźć dowolne równanie. Przyjmijmy, że a = 1.
Podstawiamy:

= 0

Odp. Przykładowe równanie to: .

4) Do przekształcania wyrażeń podanego typu:

= = =

= = =

= – =

5) Do rozwiązywania łatwych (prostych) równań typu:

= 0

Odp. Rozwiązaniami tego równania są liczby 3, 2.

ZADANIA

ZADANIE 1
Określ znaki miejsc zerowych funkcji kwadratowej .

a≠0, Δ > 0

Skoro Δ > 0 to podana funkcja posiada dwa miejsca zerowe.

= = , < 0
= = -1, < 0 Na podstawie tego, że < 0 możemy stwierdzić, że miejsca zerowe nie są takiego samego znaku, są różnych znaków (jedno miejsce zerowe dodatnie, a drugie ujemne). Odp. Miejsca zerowe podanej funkcji kwadratowej są różnych znaków. ZADANIE 2
Określ znaki współczynników w funkcji kwadratowej . Podana funkcja ma 2 dodatnie miejsca zerowe i przecina oś OY w punkcie (0, -2)

Wiemy z treści zadania, że funkcja ma 2 dodatnie miejsca zerowe, czyli
> 0, > 0

> 0 > 0

> 0 > 0

Znamy już znak c, ponieważ wykres funkcji przecina oś OY w punkcie (0,-2), czyli c = -2, a więc c < 0 c < 0 > 0 a < 0, bo
liczba ze znakiem ujemnym przez liczbę ze znakiem ujemnym daje liczbę dodatnią.

a < 0 > 0 a < 0 < 0 b > 0,
ponieważ liczba ze znakiem dodatnim przez liczbę ze znakiem ujemnym daje liczbę ujemną.

Odp. W podanej funkcji kwadratowej a < 0, b > 0, c < 0. ZADANIE 3
Przekształć wyrażenie opierając się o wzory Viete’a:
= = = =