Wzory Viète’a

Wzory Viete’a

Za pomocą wzorów Viete’a na pierwiastki równania kwadratowego, możemy z łatwością wyznaczyć ich sumę i iloczyn. Zadania na wykorzystanie wzorów Viete’a są pewniakami na maturze na poziomie rozszerzonym z matematyki.

Dla równania kwadratowego , które posiada dwa pierwiastki oraz , prawdziwe są zależności:

Ważne: Wzory Viete’a stosujemy tylko i wyłącznie wtedy, gdy równanie kwadratowe posiada dwa pierwiastki, czyli gdy delta jest dodatnia.

Ponieważ w przypadku, gdy Delta jest ujemna zachodzi równość:

Dowód wzoru na sumę dwóch pierwiastków równania kwadratowego.

Przykłady

dla trójmianu kwadratowego f(x) =

suma rozwiązań (pierwiastków) równania to:

iloczyn pierwiastków równania to:

dla trójmianu kwadratowego f(x) =

suma pierwiastków równania to:

iloczyn pierwiastków równania to:

Przy pomocy wzorów Viete’a możemy również określić znak pierwiastków równania kwadratowego.

gdy > 0 oraz > 0, oba pierwiastki są dodatnie

gdy > 0 oraz < 0, oba pierwiastki są ujemne

a gdy < 0, pierwiastki są różnych znaków

Przykład

Określ znaki pierwiastków równania kwadratowego

= 0

Obliczamy za pomocą wzorów Viete’a sumę i iloczyn pierwiastków równania

Zarówno suma jak i różnica pierwiastków są dodatnie, zatem oba pierwiastki są liczbami dodatnimi

Zadanie

Oblicz kwadrat różnicy pierwiastków równania kwadratowego
= 0

Rozwiązanie

Miłej nauki 🙂