Zadania optymalizacyjne

Optymalizacja oznacza poszukiwanie najlepszego (optymalnego) rozwiązania. Zadania optymalizacyjne polegają głównie na zoptymalizowaniu pewnych wielkości. Są to zadania, w których trzeba znaleźć takie parametry, dla których wartość jest maksymalna lub minimalna. Przy takich zadaniach często stosuje się pochodne funkcji.

W zadaniach optymalizacyjnych musimy:
-Wyznaczyć wzór funkcji oraz jej dziedzinę
-Obliczyć pochodną f'(x)
-Wyznaczyć ekstrama lokalne funkcji f(x)
-Wskazać ekstremum dla którego funkcja f(x) osiąga wartość największą i najmniejszą

Przykładowe zadanie:
Zad. 1
Z kawałka drewna o długości 96 cm wykonano szkielet prostopadłościanu o podstawie kwadratowej. Jakie są wymiary prostopadłościanu, który ma największą objętość?

Objętość ma być największa.
Najpierw dodajemy długości wszystkich boków. Podstawa prostopadłościanu jest kwadratem dlatego długość podstawy oznaczamy jako ,,a”. Długość wysokości oznaczymy jako ,,H”. Długość wszystkich boków ma być równa 96 cm.

Zatem:
8a + 4H = 96/:4
2a + 4H = 96
H = 24 – 2a

Następnie obliczoną długość H podstawiamy do wzoru objętości:

V = a2 H
V = a2 (24 – 2a) = 24a2 – 2a3 = -2a3 + 24a2

Teraz obliczamy dziedzinę:
Z: a > 0
24 – 2a > 0
-2a > -24
a < 12 Dziedzina jest liczbą większą od 0, a mniejszą od 12.
Df: (0,9)

Obliczamy pochodną V'(a):

V'(a) = -6a2 + 48a

Obliczamy: V'(a) = 0
-6a2 + 48a = 0
-6a(a-8) = 0
a=0 a=8

Badam znak pochodnej:
V'(a) = -6a(a-8)

Funkcja V(a) w przedziale (0,6) jest rosnąca, a w przedziale (8,12) malejąca że w punkcie a = 8 funkcja osiąga maximum równe V'(6)=(-2) 83 + 24 = (-1024) + 1536 = 512

Wymiary prostopadłościanu są równe:
a = 8, H = 24 – 2 = 8

Zad.2
Suma długości trzech krawędzi prostopadłościanu, które wychodzą z jednego wierzchołka jest równa 54 cm. Długość jednej z tych krawędzi jest dwa razy większe od drugiej. Jakie są długości krawędzi tego prostopadłościanu, który ma największą obojętność.

Objętość ma być największa.

Obliczanie długości odcinka H:
2a+a+H=54
3a+H=54
H = 54 – 3a

Obliczanie objętości prostopadłościanu:
V = 2a2
V = 2a2 (54-3a) = 108a2 – 6a3 = -6a3 + 108a2

Wyznaczanie dziedziny:
Z: a > 0
54 – 3a > 0
-3a > -54
a < 18 Df a (0,18)

Obliczanie pochodnej:
V'(a) = -18a + 216a
-18a + 216a = 0
-18a(a-12) = 0
a = 0 a = 12

Badam znak pochodnej:
V'(a) = -18a(a-12)

Funkcja V(a) w przedziale (0,12) jest rosnącą, a w przedziale (12,18) malejącą że posiada maximum w punkcie a = 12

Wymiary prostopadłościanu są równe:
a =12
2a = 24
H = 54 – 3 = 18