Zawieranie się zbiorów

1. Zawieranie się zbiorów.

Co to znaczy, że zbiór A zawiera się w zbiorze B? To znaczy, że elementy zbioru A są równocześnie elementami zbioru B, jednak nie wszystkie elementy zbioru B należą do zbioru A. Innymi słowy, zbiór A jest częścią zbioru B, co obrazuje poniższa grafika:

Aby to lepiej zrozumieć, załóżmy, że do zbioru A należą liczby od 1 do 5, co zapisujemy jako:

Natomiast do zbioru B – liczby od 1 do 10:

Wszystkie liczby ze zbioru A należą również do zbioru B, jednak takie liczby jak 6 czy 7 znajdują się już tylko we zbiorze B.

W takiej sytuacji możemy powiedzieć, że zbiór A zawiera się we zbiorze B, co zapisujemy jako:

Takie kolokacje występują również pomiędzy większymi zbiorami z większą liczbą elementów (w poniższych przypadkach – nieskończoną liczbą elementów):

Zbiór liczb parzystych zawiera się w zbiorze liczb naturalnych, które oznaczany literą N. Zawiera się w nim również zbiór liczb nieparzystych.

Zbiór liczb naturalnych zawiera się natomiast we zbiorze liczb całkowitych, oznaczanym literą C lub częściej Z.

Zbiór liczb całkowitych zawiera się w zbiorze liczb wymiernych, który oznaczamy literą W lub Q.

Natomiast zbiór liczb wymiernych, wraz ze zbiorem liczb niewymiernych (oznaczanych jako NW lub IQ) zawierają się w ogromnym, nieskończonym zbiorze liczb rzeczywistych, czyli R.

Mamy więc, że:

oraz

Zobaczmy to jeszcze dokładniej, wypisując kilka elementów zbiorów.

Znaku zawierania się używamy określając także m.in. dziedzinę jakiejś funkcji. Przykładowo, funkcje sinus i cosinus są określane dla wszystkich liczb rzeczywistych, czyli .

W zbiorze zawieramy również pierwiastki danego równania lub nierówności, np.: . Są to zazwyczaj zbiory kilkuelementowe.

Jeśli chcemy zapisać, że zbiór A nie zawiera się w zbiorze B, będzie to wyglądało tak:

Przykładowo, wiemy, że zarówno , jak i , jednak już ani . To nie to samo!

Prawdą jest, że , ale już .

Podsumowując, jeśli zbiór A jest częścią zbioru B, to zapisujemy, że (czyt. A zawiera się w B).