Zbiór wartości funkcji zawiera elementy y, należące do zbioru Y, które są przyporządkowane elementom x, należącym do zbioru X. Liczby, które można wyznaczyć, wstawiając do wzoru funkcji argumenty, to właśnie wartości funkcji. Aby wyznaczyć zbiór wartości funkcji, musimy, tak jak wcześniej wspomniałam, wstawić do wzoru funkcji argumenty. Zazwyczaj, wzór funkcji oraz argumenty, zapisane w dziedzinie, będziemy mieć podane w zadaniu.
Przykład I Podaj zbiór wartości funkcji, podstawiając do wzoru argumenty i dokonując odpowiednich obliczeń.
– oto wzór funkcji – dziedzina funkcji, (argumenty, które należy podstawić do wzoru powyżej)
Tak oto wyznaczyliśmy wartości funkcji, a ich zbiór zapisujemy: Odp.: .
Przykład II
Odp.: – zbiór wartości funkcji, który wyznaczyliśmy.
Przykład III
Dla przykładu pokażę, jak rozwiązałam ten przykład:
(ponieważ, jeśli liczba logarytmowana jest taka sama jak podstawa logarytmu, to wynik wynosi 1).
Ostatecznie zbiór wartości funkcji, który wyznaczyliśmy to: Odp.:
Przykład IV Możemy się również spotkać z zadaniem, gdzie podany mamy zbiór wartości funkcji oraz wzór i na tej podstawie mamy wyznaczyć dziedzinę funkcji:
W tym przypadku należy rozwiązać równania, gdzie po lewej stronie dajemy wzór funkcji, a prawa strona to poszczególne wartości funkcji. Równań będzie tyle, ile elementów zawiera zbiór wartości funkcji – (ilość elementów zbioru wartości = ilość argumentów w dziedzinie).
4x-2=8 4x=8+2 4x=10
4x-2=10 4x=10+2 4x=12
4x-2=12 4x=12+2 4x=14
Odp.: – dziedzina funkcji, którą wyznaczyliśmy.
Przykład V Kolejny podobny do poprzedniego przykład, gdzie mamy wyznaczyć dziedzinę funkcji na podstawie podanego wzoru i zbioru wartości.
Rozwiązujemy równania:
Odp.: – dziedzina funkcji, którą wyznaczyliśmy.
Zapis funkcji (jej dziedziny i wartości) można zapisać w tabeli. Możemy mieć podaną dziedzinę oraz wzór funkcji, tyle że ta dziedzina nie będzie zapisana jako zbiór, ale w tabeli.
Przykład I Podaj zbiór wartości funkcji, podstawiając do wzoru argumenty i dokonując odpowiednich obliczeń.
– wzór funkcji
x
-3
-2
-1
0
Pierwszy wiersz kolumny to argumenty funkcji, a drugi to wartości, które należy uzupełnić po ich obliczeniu. A więc, podstawiając do wzoru:
Teraz możemy uzupełnić tabelę:
x
-3
-2
-1
0
-4
-1
2
5
Przykład II – wzór funkcji x
2
4
6
Podstawiając do wzoru: Możemy uzupełnić tabelę:
x
2
4
6
2
14
34
Przykład III -wzór funkcji
x
4
8
12
Podstawiając do wzoru: Możemy uzupełnić tabelę:
x
4
8
12
4
Funkcję można przedstawić również za pomocą
wykresu. Zbiór wartości funkcji odczytujemy na wykresach na osi pionowej y.
Przykład I Popatrz na wykres, odczytaj i podaj zbiór wartości funkcji.
Zbiór wartości funkcji odczytujemy jako przedział od punktu leżącego najniżej do punktu leżącego najwyżej względem osi y. A więc wartości dla tej funkcji rozpoczynają się w punkcie -1, jednak nie należy on do tego zbioru, ponieważ na wykresie widnieje niezamalowane kółeczko, do punktu najwyżej położonego: 3, który należy do tego zbioru.
Przykład II
W tym przypadku wartości funkcji rozpoczną się w punkcie -2, należącym do tego przedziału (kółeczko zamalowane) i nie zakończą się, ponieważ półprosta rozpoczynająca się w punkcie 7 na osi x nie ma końca i biegnie do nieskończoności.
Odp.:
Przykład III
Tutaj jednostka jest obrana co 2 kratki. Z współrzędną punktu najniżej położonego nie ma problemu, jest to -1. Natomiast widzimy, że punkt położony najwyżej nie jest położony na linii, a więc jego współrzędna nie będzie liczbą całkowitą. Jeżeli podzielimy sobie dwie kratki na 5 części, to zauważymy, że ten punkt będzie właśnie
jednej jednostki. A więc, jego współrzędna to , czyli 1,2. Oba punkty należą do zbioru.
Odp.:
Przykład IV
Tutaj jednostka jest również obrana co dwie kratki. Zbiór wartości funkcji rozpoczyna się w punkcie -1, a kończy się w punkcie 2, który jest najwyżej położony. Oba punkty należą do zbioru.
Odp.:
Przykład V
Zbiór wartości funkcji rozpoczyna się w punkcie -2, który należy do zbioru, a kończy się w punkcie 3, najwyżej położonym, który również należy do tego zbioru.
Odp.:
Zadanie I Mamy funkcję: . Wyznacz y, wiedząc, że .
Analiza zadania: Patrząc na to zadanie można wywnioskować, że x=3. Należy ułożyć i rozwiązać równanie, gdzie po lewej stronie będzie wynik funkcji, czyli 4, a po prawej wzór funkcji, gdzie już podstawimy pod x trójkę. Wtedy będziemy mieli proste równanie z jedną niewiadomą:
– to nasza odpowiedź.
Zadanie II Popatrz na wykres, odczytaj i podaj zbiór wartości funkcji.
Analiza zadania: Tak, jak w przykładach powyżej, odczytujemy współrzędne najwyżej i najniżej leżących punktów. Oba punkty należą do tego zbioru. Odp.:
.
Zadanie III Mamy funkcję: . Jaka jest wartość funkcji dla argumentu x=3?
Analiza zadania: Musimy podstawić do wzoru x jako 3 i rozwiązać tę funkcję.
Odp.: 3.
Zadanie IV Mamy funkcję: . Jaka jest wartość funkcji dla argumentu x= ?
Analiza zadania: Jest to podobne zadanie do poprzedniego, jednak trudniejsze, bo z pierwiastkami. Należy podstawić do wzoru x i rozwiązać tę funkcję.
– to nasza odpowiedź.
Zadanie V Mamy funkcję: . Jaka jest wartość funkcji dla argumentu ?
Analiza zadania: Podobne zadanie do poprzedniego, jednak również z pierwiastkiem. Należy podstawić do wzoru x i rozwiązać tę funkcję.
(aby usunąć niewymierność z mianownika, mnożymy ułamek przez ) (aby pozbyć się mianownika, można wyciągnąć w liczniku przed nawias 3) – to nasza odpowiedź.
Odp.:
.
Powyższe zadanie zostało zweryfikowane przez nauczyciela
