Zbiór wartości funkcji kwadratowej

Każda funkcja, którą poznajemy w trakcie nauki matematyki, niezależnie czy to funkcja logarytmiczna, liniowa, wykładnicza czy kwadratowa, każda z nich zawiera dwie cechy wspólne: dziedzinę oraz zbiór wartości. W tym opracowaniu skupię się na funkcji kwadratowej. Jeśli chodzi o dziedzinę, sprawa jest banalnie prosta: dziedziną funkcji kwadratowej jest zbiór liczb rzeczywistych. Ciekawiej natomiast robi się jeśli chodzi o zbiór wartości funkcji kwadratowej. Dla przypomnienia, wzór ogólny funkcji kwadratowej wygląda następująco: f(x) = ax2 + bx + c, gdzie zawsze należy pamiętać o tym, że współczynnik a jest zawsze różny od 0. Gdyby a=0, wtedy ta funkcja byłaby liniowa, a nie kwadratowa. Jednocześnie istnieją dwie inne postaci funkcje kwadratowej: kanoniczna o wzorze ogólnym f(x)=a(x-p)2 +q, gdzie p i q to są punkty wierzchołka funkcji oraz postać iloczynowa o wzorze ogólnym f(x)=a(x-x1)(x-x2), gdzie x1 oraz x2 to miejsca zerowe funkcji. Żeby policzyć zbiór wartości funkcji kwadratowej, musimy poznać q tej funkcji. Ten parametr można policzyć na 2 sposoby z postaci ogólnej: pierwszym z nich to q=f(p), gdzie p=(x1 + x2)/2 lub p= . Wtedy policzone p podstawimy do wzoru funkcji i liczymy ją identycznie niczym f(1), f(1/2) itp. Wtedy otrzymujemy q na pierwszy sposób. Jednakże jak ktoś uznał, że ten sposób jest zbyt skomplikowany, łatwo się pomylić lub przez jakikolwiek inny powód nie podoba mu się ten sposób, istnieje druga metoda policzenia q. Mianowicie trzeba pamiętać o chyba najczęściej znanym wzorze przez maturzystów, czyli wzór na deltę. Dla przypomnienia, ten wzór wygląda następująco: delta= b2 -4ac. Wtedy policzoną deltę można podstawić do kolejnego wzoru na q, który wygląda następująco: . Nie możemy zapomnieć, że a jest różne od 0, gdyż wtedy nie bylibyśmy w stanie policzyć q, gdyż mianownik byłby 0, co jest matematycznie niepoprawne. Jednakże z pozostałych funkcji też można policzyć q. W postaci kanonicznej odczytujemy je po prostu, q to ostatni wyraz w postaci kanonicznej. Jeśli chodzi o postać iloczynową, należy przemnożyć wszystkie nawiasy przez siebie, by otrzymać postać ogólną. Potem działamy w identyczny sposób, w jaki opisałem schemat działania w postaci ogólnej. Jednakże też można dojść z postaci ogólnej do postaci kanonicznej poprzez dochodzenie do kwadratu i otrzymanie kwadratu sumy, co pozwoli bez korzystania przeze mnie przytoczonych wzorów policzenie parametru q, który, powtarzając jeszcze raz, jest niezbędny do policzenia zbioru wartości funkcji. Tak więc jest wiele dróg, by policzyć q. Do waszego wyboru pozostawiam metodę wyboru policzenia q. Każda z nich jest tak samo poprawny. Więc załóżmy już, że policzyliśmy nasze q. To już jest nawet większa połowa sukcesu. Pozostaje tylko podstawić do pewnej zależności, która jest zależna od a. Więc rozpatrujemy 2 przypadki, kiedy a<0 i a>0. Jeśli a<0, to wtedy nasz zbiór wartości będzie wyglądał w następujący sposób: Zw (-nieskończoność, Q>. Jest tak, gdyż funkcja przy a<0 ma ramiona skierowane do dołu, przez co ona zaczyna się od minus nieskończoności, a jej największa wartość jest w wierzchołku funkcji, czyli w naszym q. Oczywiście nie rozpatrujemy a=0, gdyż taka wartość a nie może zaistnieć. Zostaje nam do rozpatrzenia sytuacja, kiedy a>0. Wtedy nasz zbiór wartości będzie wyglądał w następujący sposób: Zw 0, to ramiona funkcji kwadratowej są skierowane do góry, przez co nie poznamy maksymalnej wartości funkcji kwadratowej, czyli będzie nią plus nieskończoność. Natomiast najniższy punkt znajdzie się w naszym wierzchołku, czyli w naszym q. Czyli żeby policzyć zbiór wartości funkcji kwadratowej nie potrzeba posiadać jakieś specjalistycznej wiedzy, należy jednak pamiętać o tych wzorach, o których wspominałem wcześniej. Zależności dotyczącej zbioru wartości nie ma w tablicach maturalnych, więc trzeba o nich pamiętać albo umieć je wyprowadzić. Kierunki ramion paraboli są w tablicach maturalnych, zresztą podobnie jak wzory na deltę, p= oraz również są w tablicach. Natomiast p=(x1 + x2)/2 oraz q=f(p), tego w tablicach maturalnych nie ma, więc trzeba o tym pamiętać, jak ktoś chce z tego skorzystać. I to jest cała wiedza potrzebna, by policzyć zbiór wartości dowolnej funkcji kwadratowej.