Zbiory

Generalnie rzecz ujmując, zbiorem nazywamy połączenie pewnych elementów. W matematyce wyróżniamy wiele zbiorów. Może być to zbiór liczb naturalnych, wymiernych, całkowitych, rzeczywistych. Możemy się także spotkać ze zbiorami, które nie mają ściśle określonych zasad odnośnie tego, co w nich się znajduje. W matematyce zbiory zazwyczaj oznacza się wielką literą, a ich elementy wypisuje się w takiej klamrze { } oddzielając każdy element przecinkiem. Przykładowo zbiorem A może być: , a zbiorem B może być: .
Zbiór A składający się z cyfry 1, cyfry 2 oraz cyfry 5, zaznaczony na osi wygląda o tak:

Zbiór B składający się z cyfry 1, cyfry 3 oraz cyfry 4, zaznaczony na osi wygląda o tak:

Gdybyśmy jednak chcieli zaznaczyć w wszystkie elementy znajdujące się między 1 a 5, powinniśmy zapisać to o tak: A = < 1; 5 >. W takim zbiorze każdy element, a więc każda wartość znajdująca się w przedziale od 1 do 5 jest brana pod uwagę. Na osi zaznaczylibyśmy to tak. Tutaj wartości skrajne, a więc 1 i 5 są brane pod uwagę, więc kółeczka są pełne (zakolorowane).

Gdybyśmy chcieli zaznaczyć przedział, w którym są wszystkie elementy między 1 a 5, ale bez tych skrajnych wartości, to wtedy na osi zostawiamy puste kółeczka.

Spróbujmy poćwiczyć teraz zaznaczanie zbiorów na osi.

zadanie 1
Zaznacz na osi zbiór A = (2, 5)

Rozwiązanie zapisujemy na osi.

zadanie 2
Zaznacz na osi zbiór B = { -3, -1, 0, 4 }

zadanie 3
Zaznacz na osi zbiór C = < -2, 1 >

zadanie 4
Zaznacz na osi zbiór D = < -3, 0 )

Oczywiście, zbiory możemy zaznaczać również na diagramach.

Mając dane zbiory, możemy je do siebie dodawać. Polega to na stworzeniu jednego dużego zbioru składającego się z dwóch początkowych zbiorów. Każdy powtarzający się element w dwóch początkowych zbiorach występuje tylko raz w nowym „dużym” zbiorze.

Sumę zbiorów A oraz B zaznaczamy jako: , a graficznie jako
Przykładowo, sumę zbiorów A = {1, 2, 3} oraz B = {5, 6, 7, 8}, stanowi:

Oczywiście, sumę możemy zapisywać również na osi.

Ćwiczenie
Zaznacz na osi sumę zbioru A i B, gdzie oraz

Ćwiczenie:
Jeśli , to jaka będzie suma tych przedziałów?

Rozwiązanie:

Różnica zbiorów jest przedstawiana przy pomocy symbolu ” „. Różnica zbiorów A i B to: A B.

Ze zbioru A usuwamy wszystkie elementy ze zbioru A, które posiada również zbiór B.

Różnica zbiorów B i A to: B A.

Ze zbioru B usuwamy wszystkie elementy ze zbioru B, które posiada również zbiór A.

zadanie 1
Oblicz różnicę zbiorów A i B oraz różnicę zbiorów B i A, wiedząc, że A = (-3, 1) oraz B = ( 0 , 5).

Zaczynamy od narysowania na osi obu przedziałów. Następnie wykonujemy różnice.

A B = ( -3, 0 >

Teraz czas na drugą różnicę.

B A = < 1, 5)