Zdarzenie losowe

Podstawowym pojęciem rachunku prawdopodobienstawa jest zdarzenie losowe. Na prostych przykładach wyjaśnię co rozumię przez to zdarzenie.

Przykład 1.
Rzut monetą.
Wynikiem tego doświadczenia jest wypadnięcie orła (O) lub reszki (R), zatem zbiorem elementarnym (Ω) jest zbiór wyników O, R.
Ω= {O, R}
ten zbiór posiada dwa elementy

– liczba elementów zbioru

Przykład 2.
Rzut sześcienną kostką do gry.
Elementami tego zbioru są:
1) Wyrzucenie ścianki z jednym oczkiem;
2) Wyrzucenie ścianki z dwoma oczkami;
3) Wyrzucenie ścianki z trzema oczkami;
4) Wyrzucenie ścianki z czteroma oczkami;
5) Wyrzucenie ścianki z pięcioma oczkami;
6) Wyrzucenie ścianki z szcześcioma oczkami.

Zdarzenia losowe opisujemy dużymi literami A, B, C, D.
Dla tego przykładu zdarzeniem losowym może być, na przykład:

1/ wyrzucenie liczby oczek podzielnej przez 3.
A= {3, 6}

2/ wyrzucenie liczby oczek większej niż 5.
B= {6}

3/ wyrzucenie liczby oczek parzystych.
C= {2, 4, 6}

Przykład 3.
Rzut dwoma kostkami.

Zbiór elementów można zapisać dwoma sposobami:

Sposób I:
Ω= {(i, j): i, j ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}}

Sposób II:
Wypisując:
Ω= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

Przykładami zdarzenia losowego z tego przykładu może być , np.:

1/ wyrzucenie tej samej liczby oczek
A= {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}

2/ Wyrzucenie sumy oczek większej niż 10:
B= {(6, 6), (6, 5), (5,6)}

3/ Wyrzucenie liczby oczek mniejszej od 3:
C= {(1, 1)}

4/ Wyrzucenie na obydwóch kostkach liczb parzystych:
D= {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (6, 2), (6, 4), (6, 6)}

Zdarzenie losowe jest pod zbiorem zbioru Ω.
Wsród podzbiorów zbiorów Ω wyróżniamy dwa:
1) zbiór pusty (∅) – ∅⊂Ω, dzieje się tak, gdyż zdarzenie losowe jest niemożliwe, dla przykładu wyrzucenie na dwóch koskach sumy oczek więcej niż 12.
2) zbiór Ω- zdarzenie pewne, na przykład: wyrzucenie jedną kostką liczby oczek mniejszej lub równej 6.

Sumę A ∪ B zdarzenia A i B nazywamy zdarzenie: zaszło zdarzenie A lub zaszło zdarzenie B.
Dla przykładu:
Rzut kostką sześcienną
A- wypadła liczba oczek mniejsza od 3;
B- wypadła liczba oczek większa od 5.
A= {1, 2}
B= {6}
A ∪ B = {1, 2, 6}
Łatwo zauważyć, że:
A ∪ ∅= ∅ ∪ A = A
A ∪ Ω= Ω
A ∪ A= A

Sumę dwóch zdarzeń losowych nazywamy alternatywą zdarzeń.

Iloczyn A ∩ B zadarzeń A i B nazywamy zdarzenie: zaszło zdarzenie A i zaszło zdarzenie B.
Dla przykładu:
Rzut dwoma kostkami:
A- suma wyrzuconych oczek mniejsza, bądź równa 3:
B- iloczyn wyrzuconych oczek jest równy 2.
A= {(1, 1), (1, 2), (2, 1)}
B= {(1, 2), (2, 1)}
A ∩ B= {(1, 2), (2, 1)}

Łatwo zauważyc, że:
A ∩ A= A
A ∩ Ω= A
A ∩ ∅= ∅
Zdarzenie A ∩ B jest koniunkcją zdarzeń A i B.

Jeżeli zdarzenie A ∩ B jest ∅ to zdarzenia A i B się wykluczają, nie mają części wspólnej.
Dla przykładu:
Rzut jedną kostką:
A- Wyrzucenie liczby oczek parzystych
B- Wyrzucenie liczby oczek nieparzystych
A ∩ B= ∅

Różnicę A- B zdarzenia A i B nazywamy następująco: zaszło zdarzenie A, ale nie zaszło zdarzenie B.
Dla przykładu:
Rzut pojedynczą kostką:
A- wyrzucenie liczby oczek większych od 4;
B- wyrzucenie oczek mniejszych od 6 .
A= {5, 6}
B= {1, 2, 3, 4, 5}
A- B= {6}